Точка С – точка пересечения медиан треугольника KNP. Точки Q и Z – точки пересечения сторон MN и NP соответственно и прямой, проходящей через точку С параллельно КР. Известно, что QZ равна 12 см. Найдите КР.

1. , где n - градусная мера соответственного центрального угла.
Найдем радиус окружности:
, где S - площадь круга.
Найдем длину дуги:

ответ:  см.
2. Найдем сторону квадрата a:

Радиус вписанной в квадрат окружности равен:
, где a - сторона квадрата.

Площадь вписанного треугольника равна:
, где c - сторона правильного треугольника.
Необходимо найти сторону правильного треугольника. Так как нам известен радиус описанной около треугольника окружности, то воспользуемся формулой:

Найдем площадь правильного треугольника:
.
ответ:  см.

Пусть OO₁ = x (см. чертеж)

Из ΔOO₁B, используя теорему Пифагора, получаем:

O₁B² = 1 - x² (O₁B - радиус основания конуса)

SO₁ = 1 + x - высота конуса

Объем конуса вычисляется по формуле:

V = ⅓·πr²h, где r - радиус основания конуса, h - его высота

В нашем случае:

V(x) = ⅓·π·(1 - x²)(1 + x)

Исследуем на экстремум функцию f(x) = (1 - x²)(1 + x) = -x³ - x² + x + 1

f'(x) = -3x² - 2x + 1 = 0; Нули производной: -1; ⅓, причем x = ⅓ - максимум!

Таким образом для x>0 f(x) принимает наибольшее значение при x = ⅓, а значит и V(x) принимает наибольшее значение в этой же точке:

V(⅓) = ⅓·π·(1 - ⅑)(1 + ⅓) = 32/81 · π