Точка X делит сторону AN в отношении AX:XN = 4:1, Y делит сторону NF в отношении NY:YF=4:1
Разложи вектор XY по векторам NA и NF

XY=(число и дробь)× NA→ (число и дробь)× NF→ ​

AD II BC, поэтому нам нужен угол между BG и BC. Задача свелась к ПЛОСКОЙ. ВСЕ ДАЛЬНЕЙШЕЕ ПРОИСХОДИТ В ПЛОСКОСТИ SBC. (Я не буду пояснять, что высота треугольника SBC SK - это апофема пирамиды, и так далее. Просто ВСЁ ДАЛЬШЕ ПРОИСХОДИТ В ПЛОСКОСТИ SBC, про остальную пирамиду забыли навеки.)

Есть треугольник SBC, ВС = 4, SB = SC = 3*корень(6); Высота SK равна 

SK = корень(54 - 4) = 5*корень(2); (ясно, что BK = KC = 2);

Точка G расположена на SC на расстоянии SC/3 от S. Поэтому перпендикуляр из G на ВС равен (2/3)*SK. Пусть его основание M, GM = 10*корень(2)/3, а

ВМ = ВК + КМ = 2 + 2/3 = 8/3; (поясню - KM = KC/3 = 2/3)

как мне кажется, достаточно для решения

tg(угол GBC) = GM/BM = 5*корень(2)/4;

Напомню, что угол GBC и есть угол между BG и AD, поскольку AD II ВС.

Проверьте арифметику, надеюсь, я не ошибся нигде.

Медиана - это отрезок прямой из вершины угла к стороне, который делит эту сторону на две равные части. 

Значит, в получившихся треугольниках основания равны половине гипотенузы. 

Высота у них одна и та же - из вершины прямого угла к основанию. 

В одном - остроугольном -  она внутри треугольника, во втором - тупоугольном- вне треугольника.

Площадь треугольника вычисляют по формуле

 S =аН

Основания в этих треугольниках равны, высота - общая.

Площади  этих треугольников  равны. Что  и требовалось доказать.