AB = BN, значит ΔABN равнобедренный, углы при основании равны: ∠BAN = ∠BNA = (180° - 30°)/2 = 75°
∠NAD = 90° - ∠BAN = 90° - 75° = 15°
2. ∠BAF = ∠DAF так как AF - биссектриса, ∠DAF = ∠BFA как накрест лежащие при пересечении AD║BC секущей AF, ⇒ ∠BAF = ∠BFA, треугольник BAF равнобедренный, АВ = BF = 2 см
∠CFE = ∠AFB как вертикальные ∠CEF = ∠BAF как накрест лежащие при пересечении AB║CD секущей АЕ, ∠AFB = ∠BAF как доказано выше, ⇒ ∠CFE = ∠CEF, ⇒ треугольник CFE равнобедренный, CF = CE = 3 см
АВ = 2 см ВС = 2 + 3 = 5 см Pabcd = (AB + BC)·2 = (2 + 5)·2 = 14 см
3. В треугольнике АВЕ АВ = 5 см, АЕ = 3 см, ВЕ = 4 см, значит это прямоугольный (египетский) треугольник, значит ВЕ - высота трапеции. ЕВСК - прямоугольник (ВЕ = СК как высоты трапеции, ВЕ║СК как перпендикуляры к одной прямой), ⇒ ЕК = ВС = 6 см.
ВС = 6 см AD = 3 + 6 + 1 = 10 см
Sabcd = (AD + BC)/2 · BE = (10 + 6)/2 · 4 = 32 см²
Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.
Объяснение:
Доказательство
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.
Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y) задает в
Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач
Содержание:
Общее уравнение прямой: основные сведения
Неполное уравнение общей прямой
Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости
Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно
Составление общего уравнения прямой
Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy.
Теорема 1
Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.
Доказательство
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.
Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора
→
n
=(A, B). Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A(x-x0)+B(y-y0)=0 не было бы верным.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Следовательно, уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 определяет прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение
A
x
+
B
y
+
C
=
0
определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.
Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени
A
x
+
B
y
+
C
=
0
.
Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую
a
; точку
M
0
(
x
0
,
y
0
)
, через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой
∠NBC = 60°
∠ABN = 90° - ∠NBC = 30°
AB = BN, значит ΔABN равнобедренный, углы при основании равны:
∠BAN = ∠BNA = (180° - 30°)/2 = 75°
∠NAD = 90° - ∠BAN = 90° - 75° = 15°
2. ∠BAF = ∠DAF так как AF - биссектриса,
∠DAF = ∠BFA как накрест лежащие при пересечении AD║BC секущей AF, ⇒ ∠BAF = ∠BFA, треугольник BAF равнобедренный,
АВ = BF = 2 см
∠CFE = ∠AFB как вертикальные
∠CEF = ∠BAF как накрест лежащие при пересечении AB║CD секущей АЕ,
∠AFB = ∠BAF как доказано выше, ⇒
∠CFE = ∠CEF, ⇒ треугольник CFE равнобедренный,
CF = CE = 3 см
АВ = 2 см
ВС = 2 + 3 = 5 см
Pabcd = (AB + BC)·2 = (2 + 5)·2 = 14 см
3. В треугольнике АВЕ АВ = 5 см, АЕ = 3 см, ВЕ = 4 см, значит это прямоугольный (египетский) треугольник, значит ВЕ - высота трапеции.
ЕВСК - прямоугольник (ВЕ = СК как высоты трапеции, ВЕ║СК как перпендикуляры к одной прямой), ⇒ ЕК = ВС = 6 см.
ВС = 6 см
AD = 3 + 6 + 1 = 10 см
Sabcd = (AD + BC)/2 · BE = (10 + 6)/2 · 4 = 32 см²
Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.
Объяснение:
Доказательство
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.
Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y) задает в
Справочник
Прямая, плоскость
Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Как работает сервис
Наши социальные сети
Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач
Содержание:
Общее уравнение прямой: основные сведения
Неполное уравнение общей прямой
Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости
Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно
Составление общего уравнения прямой
Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy.
Теорема 1
Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.
Доказательство
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.
Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора
→
n
=(A, B). Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A(x-x0)+B(y-y0)=0 не было бы верным.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Следовательно, уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 определяет прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение
A
x
+
B
y
+
C
=
0
определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.
Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени
A
x
+
B
y
+
C
=
0
.
Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую
a
; точку
M
0
(
x
0
,
y
0
)
, через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой
→
n
=
(
A
,
B
)
.