Точки а‘ і в‘ - паралельні проекції точок а і в на площину п. пряма ав перетинає дану площину в точці с. знайдіть довжину відрізка ав, якщо аа‘ = 18см, вв‘ = 12см, ас = 27см.

У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Из вершины тупого угла опустим высоту на основание треугольника,которая также будет являться и медианой,и биссектрисой т.е. основание поделится по палам и каждая половина будет равна по 9 см,и угол из которого опущена высота тоже поделится по палам и эти два угла будут равны по 60 град. опустив высоту мы поделили тупоугольный треугольник на два прямоугольных треугольника. Два угла нам известны,они равны 60 и 90 град,найдем третий угол. Он равен 180-(90+60)=30. По свойству прямоугольного треугольника катет противолежащий углу 30 град равен 1/2 гипотенузы. Обозначим высоту за х-это и есть катет противолежащий углу 30 град,тогда гипотенуза равна 2х. По теореме Пифагора составим уравнение: 4x^2=81+x^2; 3x^2=81; x^2=27; x=3sqrt3- это и есть высота

ТЕОРЕМА. 

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между пропорциональными сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Доказательство. Вот наши треугольники - большой ABC и маленький A1B1C1. У них длины боковых сторон составляют пропорцию: АВ/A1B1 = ВС/B1C1. Также углы ∟B и ∟B1 равны - они отмечены двойной дужкой. И нам надо доказать, что маленький и большой треугольники подобны.

Как и при доказательстве первого признака, отложим  на стороне АВ отрезок KB = А1В1 и проведём КР параллельно АС. Отсёкся ▲КВР~▲АВС. Для подобных треугольников составим пропорцию из сходственных сторон: AB/KB = BC/BP. Теперь видим, что три члена одной пропорции равны трём членам другой пропорции, а именно AB, BC и сторона-звёздочка. Стало быть, и четвёртые члены равны, то есть B1C1 = BP. Это значит, что отсечённый треугольник равен меньшему по первому  признаку. Значит, меньший треугольник, как и отсечённый, подобен большому: ▲A1B1C1~▲ABC. ЧТД.