Точки C, D и E лежат на одной прямой, причем длина отрезка DE в 2 раза меньше длины отрезка CD, а длина CD больше длины СЕ на 5,2 см. Найдите длину отрезка DE.

Sastd =  67,5+15√3  см².

Объяснение:

Площадь боковой поверхности пирамиды ASTD - это сумма площадей боковых граней ATS, ADS и ATD, так как по принятому обозначению пирамиды ее вершина обозначается первой.

Площадь грани ADS (правильного треугольника) равна

Sads = √3*а²/4  = √3*100/4 = 25√3 см².

Площадь грани ATD (прямоугольного треугольника) равна

Satd = (1|2)*AT*AD = 30 см².

Площадь грани ATS равна

Sasb = Sads = 25√3 см², так как площади граней равны.

Площади треугольников АST и BST имеют общую высоту (высоту грани ASB) и относятся как стороны, к которым проведена эта высота, то есть Sats/Sbts = 3/2. А так как Sasb = Sats+Sbts, то

Sats/Sasb = 3/5. тогда

Sats = (3/5)*Sasb = (3/5)*25√3 = 15,5 см².

Площадь боковой поверхности пирамиды ASTD равна:

Sastd = 25√3 + 30 + 37,5 = 67,5+15√3  см².

P.S. На всякий случай:

Площадь грани STD можем найти по Герону.

По теореме косинусов в треугольнике AST:

ST² = √(AT²+AS²-2*AT*AS*Cos60). (угол SAT = 60, так как грани - правильные треугольники). Тогда

ST = √(136-2*AT*AS*(1/2)) = √76.

DT = √(AT²+AD²) = √136.

SD = 10.

Полупериметр равен (10+√136+√76)/2 и по Герону:

Sstd = √((10+√136+√76)*(10+√76-√136)*(10+√136-√76)*(√136+√76-10))/4  или

Sstd = √((10+√76)²-136)*(136-(10-√76)²)/4  или

Sstd = √((20√76+40)*(20√76-40))/4 или

Sstd = √((30400-1600)/4 = √28800/4 = 120√2/4 =30√2.

1) Основание прямой призмы – прямоугольный треугольник с гипотенузой 15см и катетом 12см. Найдите площадь боковой поверхности, если грань содержащая больший катет – квадрат.
Решение.
По Пифагору найдем второй катет основания призмы:
√(15²-12²)=√(27*3)=9см.
Следовательно, больший катет равен 12см и высота призмы равна 12см (так как боковая грань - квадрат 12х12 - дано).
Площадь боковой поверхности призмы равна Sб=P*h, где Р - периметр, а h - высота призмы.
Sб=36*12=432см².

2) Ребро правильного тетраэдра равно а. Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2, и проходящей параллельно ребру АВ.
Решение.
Условие для однозначного решения не полное.
Во-первых, не понятно условие "Постройте сечение плоскостью, проходящей через ребро АС и делящее его в отношении 1:2".
Проходящее - содержащее это ребро или пересекающее его?
Раз сечение делит ребро в отношении 1:2, значит плоскость пересекает это ребро и делит его в отношении 1:2, но считая от какой вершины?
Во вторых, таких сечений может быть бесконечное множество, так как плоскость, параллельная прямой АВ, может пересекать тетраэдр в любом направлении. Например, параллельно грани АВS (сечение MNP) или проходящее через точку Q на ребре AS (сечение MQDN).
Причем линия пересечения грани АSB и плоскости сечения будет параллельна ребру АВ.
Вывод: однозначного решения по задаче с таким условием нет.