Точки M и N делят окружность на две дуги, большая с которых ровняется 220 градусам, а меньшая точка А делится в отношении 5:2, если считать от точки М. Найдите угл NMA

Объяснение:

. а) Сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Значит третий угол треугольника равен 180°-70°--55°=55°. В треугольнике два угла равны, значит треугольник равнобедренный с основанием ВС, так как равные углы прилежат к стороне ВС.

б) Так как ВМ -перпендикуляр к АС, то треугольники АВМ и СВМ - прямоугольные. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, значит <АВМ=90°-70°=20°. <СВМ=90°-55°=35°.

2. а) Треугольники ВСО и ВСD равны по двум сторонам и углу между ними (АО=ОВ и СО=OD - дано, а <АОС =<BOD - вертикальные).

Что и требовалось доказать.

б) В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Следовательно, <ОАС=<OBD. Угол OBD=180°-20°-115°=45°.

ответ: <ОАС=45°.

Подробнее - на -

Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором известны гипотенуза с и радиус вписанной окружности r.

Примем один из катетов за х, второй равен √(с² - x²).

Точки касания окружности со сторонами отстоят:

- от вершины прямого угла на расстоянии r,

- на гипотенузе от вершины острого угла с катетом х на расстоянии

x - r.

- от второй вершины расстояние равно √(с² - x²) - r.

Длина гипотенузы равна:  c = (x - r) + (√(с² - x²) - r).

√(с² - x²) =  c - x + 2r. Возведём в квадрат:

с² - x² =  c² + x² + 4r² - 2cx -  4rx + 4rc.

Получили квадратное уравнение:

x² - (c + 2r)*x +2(r² + rc) = 0, одиз из корней  которого соотетствует длине принятого катета х, второй корень - это второй катет.

ответ: по корням уравнения x² - (c + 2r)*x +2(r² + rc) = 0 строятся катеты.

Сделаем проверку правильности формулы для известного "египетского" треугольника с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5.

Для него r = (a+b-c)/2 = (3+4-5)/2 = 1.

Подставим в полученную формулу r = 1, c = 5.

x² - (5 + 2*1)*x +2(1² + 1*5) = 0.

x² -7x +12 = 0,   D = 49 - 48 = 1,

x1 = (7 - 1)/2 = 3,

x2 = (7 + 1)/2 = 4.

ответ верный.