Точки mi k належать відповідно бічним сторонам
ab і bc рівнобедреного трикутника abc, am = ск.
відрізки ак і см перетинаються в точці о. доведіть,
що трикутник aoc рівнобедрений.​

Легко видеть, что 
AB*cos(∠ABB1) = BB1; BK = BB1*cos(∠ABB1); то есть
BK = AB*(cos(∠ABB1))^2 = AB*(sin(A))^2; A - это ∠BAC;
аналогично BL = BC*(sin(C))^2; то есть
BK/BL = AB*(sin(A))^2/BC*(sin(C))^2 = (BC/AB)*((AB/sin(C))/(BC/sin(A)))^2 = BC/AB; вследствие теоремы синусов. "Под квадратом" стоит просто единица. 
Полученное равенство означает, что треугольники ABC и LBK подобны - у них общий угол B и стороны этого угла пропорциональны.
(В таких случаях применяется термин AC  и KL антипараллельны)
C другой стороны, четырехугольник LBKB1 имеет два противоположных прямых угла, то есть он вписан в окружность с диаметром BB1; то есть диаметр окружности, описанной вокруг треугольника LBK, равен 1;
Диаметр окружности, описанной вокруг ABC, равен 8;
Соответственные стороны относятся так же, как диаметры, то есть
KL/AC = 1/8;
ответ есть, но я не уверен, что такое вообще возможно для остроугольного треугольника, по-моему, 1/8 - это маловато будет... требует дополнительного исследования. Скажем, если AB = BC, то такой ответ заведомо требует, чтобы угол B был тупой. Вопрос такой - существует ли какой-то остроугольный - как это задано в условии, треугольник, в котором получится KL/AC = 1/8; как это следует из условия же...

Площадь полной поверхности конуса = сумма площади боковой поверхности и площади основания конуса. 

Примем радиус основания равным r.

Тогда площадь основания πr²

Формула площади боковой поверхности конуса πrL. ⇒

Sбок=20πr

По условию πr²+πrL=400⇒⇒

3,14r²+60,28r-400=0

Решив квадратное уравнение, получим r1=5,16, r2 - отрицательный и не подходит. 

 r=5,16 см

Площадь боковой поверхности  πrL=S=π•5,16•20=103,2π - площадь  меньшего сектора круга радиусом 20 см

Площадь сектора АОВ=πR²α :360° , где R=L=20 см, α- угол развертки конуса.

 π•400•α :360°=103,2π, откуда α=92,88°° = или  ≈ 92°53'.