Можно так...: Пусть MNPQ четырех угольник, тогда, если из точки Q провести диагональ в точку М и из точки N в точку P, получаться два треугольника NOM и QOP с равными углами NOM и QOP.(они равны так как являются вертикальными) стороны этих треугольников тоже равны по построению. Треугольники равны.( первый признак равенства). по этому углы OQP и ОМР равны. Исходя из этого стороны MN И PQ параллельны и равны. Так же доказывается параллельность и равенство сторон NQ и MP. (через треугольники NOQ MOP) Противоположные стороны параллельны и равны это параллелограмм.
1 a) (MD) и (BC) скрещивающиеся прямые по теореме: Если одна из двух прямых (это ВС) лежит в некоторой плоскости, а другая прямая (это MD) пересекает эту плоскость в точке (это D) , НЕ лежащей на первой прямой (на ВС), то эти прямые скрещивающиеся. (ВС) принадлежит плоскости по условию, (MD) НЕ принадлежит плоскости (т.к. М НЕ принадлежит по условию) ---> (MD) ПЕРЕСЕКАЕТ плоскость в точке D ( D ведь принадлежит плоскости)) и эта точка D не лежит на прямой (ВС). 1 б) (MB) и (DK) скрещивающиеся прямые и (MB) и (DK) пересекают данную плоскость --- здесь теорему не применить))) нужно рассмотреть другую плоскость... например (MBD) -- три точки однозначно определяют плоскость))) ---аналогично можно рассмотреть, например, плоскость (KBD) (MВ) принадлежит плоскости (MBD) по построению, (КD) НЕ принадлежит плоскости (т.к. К является серединой (МА), А НЕ принадлежит (MBD) по построению, следовательно и К НЕ принадлежит (MBD)) ---> (KD) ПЕРЕСЕКАЕТ плоскость (MBD) в точке D и эта точка D не лежит на прямой (МВ). 2) точки М и К принадлежат плоскости (АВС), следовательно и вся прямая (МК) принадлежит (АВС), для треугольника АВС отрезок МК -- средняя линия по условию))) про среднюю линию треугольника известно, что она || третьей стороне треугольника (в нашем случае || АС))))) (МК) ∈ (АВС), (МК) ∈ (а), (МК) || (AC) ---> (AC) || (a) по теореме: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, || КАКОЙ-НИБУДЬ прямой, лежащей в плоскости, то она || и ВСЕЙ данной ПЛОСКОСТИ. (АС) НЕ ЛЕЖИТ в плоскости (а)...
по теореме: Если одна из двух прямых (это ВС) лежит в некоторой плоскости, а другая прямая (это MD) пересекает эту плоскость в точке (это D) , НЕ лежащей на первой прямой (на ВС), то эти прямые скрещивающиеся.
(ВС) принадлежит плоскости по условию,
(MD) НЕ принадлежит плоскости (т.к. М НЕ принадлежит по условию) --->
(MD) ПЕРЕСЕКАЕТ плоскость в точке D ( D ведь принадлежит плоскости))
и эта точка D не лежит на прямой (ВС).
1 б) (MB) и (DK) скрещивающиеся прямые
и (MB) и (DK) пересекают данную плоскость --- здесь теорему не применить)))
нужно рассмотреть другую плоскость... например (MBD) -- три точки однозначно определяют плоскость))) ---аналогично можно рассмотреть, например, плоскость (KBD)
(MВ) принадлежит плоскости (MBD) по построению,
(КD) НЕ принадлежит плоскости (т.к. К является серединой (МА),
А НЕ принадлежит (MBD) по построению,
следовательно и К НЕ принадлежит (MBD)) --->
(KD) ПЕРЕСЕКАЕТ плоскость (MBD) в точке D
и эта точка D не лежит на прямой (МВ).
2) точки М и К принадлежат плоскости (АВС), следовательно и вся прямая (МК) принадлежит (АВС),
для треугольника АВС отрезок МК -- средняя линия по условию)))
про среднюю линию треугольника известно, что она || третьей стороне треугольника (в нашем случае || АС)))))
(МК) ∈ (АВС), (МК) ∈ (а), (МК) || (AC) ---> (AC) || (a) по теореме:
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, || КАКОЙ-НИБУДЬ прямой, лежащей в плоскости, то она || и ВСЕЙ данной ПЛОСКОСТИ.
(АС) НЕ ЛЕЖИТ в плоскости (а)...