Точки P и K — середины ребер AB и DC правильной треугольной пирамиды DABC, все ребра которой равны. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки и параллельной прямой AC. Определите периметр полученного сечения, если известно, что площадь полной поверхности пирамиды DABC равна см2 .
Конечно, высота пирамиды легко вычисляется "стандартным Проекцией ребра на основание служит половина диагонали квадрата в основании, которая равна, очевидно, корень(2)*корень(2)/2 = 1. Вместе с высотой пирамиды эта проекция образует прямоугольный треугольник, гипотенузой которого служит боковое ребро, откуда высота тоже равна 1. Откуда получается ответ - объем равен (корень(2))^2*1/3 = 2/3.
Но...
Поскольку это половина окртаэдра, эту задачу можно решить вот как (не надо пугаться, что это какой-то координатный метод, просто так наглядно :)) - расположим эту пирамиду в трехмерной системе координат следуюшим образом - пусть её вершины лежат в точках (1,0,0) (0,1,0) (-1,0,0) (0,-1,0) (0,0,1). Не трудно убедится, что у такой пирамиды все ребра равны корень(2), поскольку именно такое расстояние между любой из этих точек и ближайшей к ней (ну, например, точка (1,0,0) на оси X и точка (0,1,0) на оси Y - обе на расстоянии 1 от начала координат, а ребро пирамиды их соединяет, и также - все остальные).
Вот теперь сразу же очевидно, что высота пирамиды равна 1, и объем равен 2/3 (площадь основания очевидно равна 2).
На самом деле, есть очень интересная трехмерная фигура, которая получается, если выбрать в обычном кубе вершину и провести сечение через три вершины, соседние к ней. В сечении получится равносторонний треугольник (со строной корень(2), если ребро куба 1). Объем такой пирамидки равен (1*1/2)*1/3 = 1/6 объема куба. А заданная в задаче пирамида составлена из 4 таких фигур. А октаэдр - из 8 :)).
Во-первых, не могут 2 стороны лежать на основании, это две вершины могут лежать на основании а две других - на боковых сторонах.
Во-вторых, будем все мерять в дециметрах - так нулей меньше и единицы измерения одни и те же :))
Основание треугольника а = 12 (дециметров), высота к этой стороне h = 6;
Стороны прямоугольника обозначим x и y. Сторона y параллельна основанию треугольника а. Ясно, что эта сторона y отсекает от исходного треугольника ему подобный, у которого основание y, а высота h - x. Ясно, что в подобных треугольниках высоты пропорциональны сторонам, поэтому
y/a = (h - x)/h = 1 - x/h;
Площадь прямоугольника S = 17,5 (кв. дм);
S = x*y;
Введем новую переменную z = x/h; легко видеть, что y = a*(1 - z);
z*(1 - z) = S/(a*h); то есть z^2 - z + S/(a*h) = 0; это простое квадратное уравнение.
см2 .
Конечно, высота пирамиды легко вычисляется "стандартным Проекцией ребра на основание служит половина диагонали квадрата в основании, которая равна, очевидно, корень(2)*корень(2)/2 = 1. Вместе с высотой пирамиды эта проекция образует прямоугольный треугольник, гипотенузой которого служит боковое ребро, откуда высота тоже равна 1. Откуда получается ответ - объем равен (корень(2))^2*1/3 = 2/3.
Но...
Поскольку это половина окртаэдра, эту задачу можно решить вот как (не надо пугаться, что это какой-то координатный метод, просто так наглядно :)) - расположим эту пирамиду в трехмерной системе координат следуюшим образом - пусть её вершины лежат в точках (1,0,0) (0,1,0) (-1,0,0) (0,-1,0) (0,0,1). Не трудно убедится, что у такой пирамиды все ребра равны корень(2), поскольку именно такое расстояние между любой из этих точек и ближайшей к ней (ну, например, точка (1,0,0) на оси X и точка (0,1,0) на оси Y - обе на расстоянии 1 от начала координат, а ребро пирамиды их соединяет, и также - все остальные).
Вот теперь сразу же очевидно, что высота пирамиды равна 1, и объем равен 2/3 (площадь основания очевидно равна 2).
На самом деле, есть очень интересная трехмерная фигура, которая получается, если выбрать в обычном кубе вершину и провести сечение через три вершины, соседние к ней. В сечении получится равносторонний треугольник (со строной корень(2), если ребро куба 1). Объем такой пирамидки равен (1*1/2)*1/3 = 1/6 объема куба. А заданная в задаче пирамида составлена из 4 таких фигур. А октаэдр - из 8 :)).
Во-первых, не могут 2 стороны лежать на основании, это две вершины могут лежать на основании а две других - на боковых сторонах.
Во-вторых, будем все мерять в дециметрах - так нулей меньше и единицы измерения одни и те же :))
Основание треугольника а = 12 (дециметров), высота к этой стороне h = 6;
Стороны прямоугольника обозначим x и y. Сторона y параллельна основанию треугольника а. Ясно, что эта сторона y отсекает от исходного треугольника ему подобный, у которого основание y, а высота h - x. Ясно, что в подобных треугольниках высоты пропорциональны сторонам, поэтому
y/a = (h - x)/h = 1 - x/h;
Площадь прямоугольника S = 17,5 (кв. дм);
S = x*y;
Введем новую переменную z = x/h; легко видеть, что y = a*(1 - z);
z*(1 - z) = S/(a*h); то есть z^2 - z + S/(a*h) = 0; это простое квадратное уравнение.
z = 1/2 +- √(1/4 - S/(a*h)) = (1/2)*(1 +- √(1 - 4*S/(a*h)));
Ясно видно, что есть два решения, если под корнем положительная величина, конечно, в задаче это так,
1 - 4*S/(a*h) = 1/36 = (1/6)^2;
поэтому z1 = 5/12; z2 = 7/12; периметр 2*(x + y) легко вычислятеся.
Но я поступлю иначе - обозначу для краткости записи √(1 - 4*S/(a*h)) = u; тогда
z = (1/2)*(1 +- u); x = (1/2)*(1 +- u)*h; y = (1/2)*(1 -+ u)*а; (если x "с минусом", то y "с плюсом")
Периметр Р = (1 +- u)*h + (1 -+ u)*а = (a + h) +- (a - h)*u;
Окончательно
P = (a + h) +- (a - h)*√(1 - 4*S/(a*h));
это получился ответ в общем виде :))) Вычислим теперь значения.
u = 1/6; (уже вычисляли :))
P = (12 + 6) +- (12 - 6)/6 = 18 +- 1;
То есть в задаче два решения P1 = 19 дециметров, P2 = 17 дециметров.