Точки p и o лежат соответственно на сторонах ad и ab квадрата abcd так, что bo = pd. известно, что ab = 2 корней из 3 см, угал cpd = 60 градусов. вычислите площадь треугольника cop
1. Прямая пересекает две стороны треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?
Да.
По аксиоме: если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в плоскости.
2. Прямая пересекает вершину треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?
Необязательно.
У прямой и плоскости только одна общая точка, значит прямая может лежать в плоскости, а может ее пересекать.
3. Три вершины параллелограмма лежат в плоскости. Принадлежит ли четвертая вершина параллелограмма этой плоскости?
Да.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Значит плоскость параллелограмма совпадает с данной.
4. Хорда окружности принадлежит плоскости. Верно ли утверждение, что и вся окружность лежит в этой плоскости?
Нет.
Плоскость окружности может пересекать данную плоскость по хорде.
5. Две пересекающиеся хорды окружности принадлежат плоскости. Верно ли утверждение, что любая точка окружности принадлежит этой плоскости?
Да.
Через любые две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Значит плоскость, в которой лежит окружность, и данная плоскость совпадают.
6. Сколько плоскостей можно провести через: три различные точки;
если точки не лежат на одной прямой - одну;если точки лежат на одной прямой - бесконечно много;
две различные точки;
бесконечно много;
через прямую и не лежащую на ней точку;
одну;
через две параллельные прямые?
одну.
7. Верно ли утверждение: любые три точки принадлежат плоскости;
верно;
через любые три точки проходит единственная плоскость?
неверно, надо уточнить: не лежащие на одной прямой.
8. Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости?
нет, прямая в плоскости и данная прямая могут быть скрещивающимися (см. рисунок);
Может ли данная прямая пересечь какую-либо прямую, лежащую в плоскости?
нет, так как она не имеет с плоскостью общих точек.
9. Средняя линия трапеции лежит в плоскости а. Пересекают ли основания трапеции эту плоскость?
Нет, они параллельны плоскости.
Основания и средняя линия параллельны, а если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна плоскости.
10. а) Прямая а параллельна линии пересечения плоскостей α и β. Каково взаимное расположение а и α; а и β ?
а║α или а лежит в α; а║β или а лежит в β (на рисунке возможные расположения прямой а).
10. б) Прямая b не параллельна линии пересечения плоскостей α и β Каково взаимное расположение b и α; b и β?
Прямая b может лежать в одной из плоскостей и пересекать другую или b может пересекать обе плоскости (см. рисунок).
11. Сколько можно провести через данную точку: прямых, параллельных данной плоскости; плоскостей, параллельных данной прямой?
бесконечно много;
12. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают некоторую плоскость. Докажите, что прямые AD и DC пересекают эту плоскость.
Противоположные стороны параллелограмма параллельны, а если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.
13. Плоскость α параллельна одной из двух параллельных прямых. Каково взаимное расположение второй прямой и плоскости α?
Вторая прямая может лежать в плоскости, а может быть ей параллельна.
14. Сторона АВ параллелограмма ABCD лежит в плоскости α. Докажите, что сторона CD параллельна этой плоскости.
CD║AB как противоположные стороны параллелограмма, АВ лежит в плоскости, значит CD параллельна плоскости (признак параллельности прямой и плоскости)
15. Прямая пересекает плоскость. Можно ли в плоскости провести прямую, параллельную данной прямой?
Нет, параллельные прямые должны лежать в одной плоскости.
16. Две прямые параллельны одной плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны?
Нет, они могут быть скрещивающимися или пересекающимися
на рисунке для плоскости (АВС) КН и D₁C₁ скрещивающиеся, А₁С₁ и А₁В₁ пересекающиеся.
17. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, из которых одна параллельна некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость?
Эти прямые могут быть скрещивающимися или пересекающимися.
На рисунке для плоскости (АВС) А₁В₁ и СС₁ скрещивающиеся, а А₁В₁ и ВВ₁ пересекающиеся.
19. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b быть параллельными? Пересекаться?
Да.
На рисунке АА║ВВ₁, они скрещиваются с прямой DC; а прямые АА₁ и КН пересекаются, но тоже скрещиваются с прямой DC.
20. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой?
Нет, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой, а данные прямые скрещивающиеся.
21. Прямая, не лежащая в плоскости параллелограмма, параллельна одной из его диагоналей. Каково взаимное расположение данной прямой и второй диагонали?
Скрещивающиеся.
На рисунке А₁С₁║АС, но А₁С₁ и BD скрещивающиеся.
22. Как могут быть расположены прямая и плоскость, если данная прямая и некоторая прямая, лежащая в этой плоскости, скрещиваются?
Прямая может быть параллельна плоскости, а может ее пересекать.
На рисунке для плоскости (АВС) А₁С₁ и BD скрещивающиеся, А₁С₁║(АВС); АА₁ и BD скрещивающиеся, АА₁∩(АВС).
В основі материка лежить Північноамериканська платформа, що на північному сході виходить на поверхню у вигляді Канадського кристалічного щита (платформа займає майже 3/4 поверхні материка й значну частину Канадського Арктичного архіпелагу й Гренландії). На заході в резуль-таті зіткнення Тихоокеанської й Північноамериканської літосферних плит сформувалася область середньої й молодої складчастості, що простягнулася з півночі на південь на 9000 км (через Центральну Америку вона тягнеться на південноамериканський материк). На сході до платформи приєднується область давньої й найдавнішої складчастості — гори Аппалачі з висотами до 2000 м.
Північно-східна частина платформи під вагою давнього льодовика подекуди прогнулася. Про-гини, заповнені пізніше водою, утворили Гудзонову затоку й більш дрібні затоки й протоки, що відокремили від материка Канадський Арктичний архіпелаг. Унаслідок розломів від платформи відокремився острів Гренландія.
(Подальшу свою розповідь учитель супроводжує демонстрацією ілюстрацій.) Під час льодовикової епохи клімат Північної півкулі був суворішим, ніж сьогодні. Гігантський льодовик, розбитий на окремі блоки, повільно сповзав, відколював дрібні уламки, захоплював цілі брили гірських порід і ніс їх із собою. На південній окраїні льодовик починав танути, численні річки й струмки виносили з-під льоду гальку, пісок, часточки глини. Іноді такі водні потоки протягом тривалого часу текли в льодовику, утворюючи своєрідний тунель, і тоді накопичувалися вузькі й довгі піщані й глиняні вали. Під дією талих вод утворювалися піщані наноси, простягнулися вузькі поздовжні піднесення, що нагадують залізничні насипи, по всій території виникли величезні валуни, талі води заповнили виорані льодовиком зниження й створили численні озера. Так утворився ландшафт, характерний для областей давнього зледеніння.
Середня висота Північної Америки над рівнем моря — 720 м, тоді як Південної — на 140 м ме-нше (580 м), однак максимальна висота більша в Південної Америки (г. Аконкагуа — 6960 м), на заході материків тягнуться молоді гори, на сході — старі гори (у Південній Америці — плоско-гір’я). Середня частина материків рівнинна. При цьому в Північній Америці низовини займають меншу площу, ніж височини, а в Південній Америці значна частина поверхні припадає на плоско-гір’я. Пояс гір на заході Північної Америки більш широкий, ніж у Південній. Перепад висот між гірським, західним районом і східним, рівнинним у Північній Америці не такий різкий, як у Пів-денній, оскільки на схід від гір Північної Америки тягнеться плоскогір’я (Великі рівнини), а потім уже низовина; у Південній Америці високогір’я відразу переходять у низовину.
Цікаві факти
Уздовж східного узбережжя Північної Америки в напрямку з південного заходу на північний схід простягнулися Аппалачські гори. Вони являють собою широку смугу хребтів і плато, що ви-тягнулася більш ніж на 2000 км від штату Алабама до затоки Св. Лаврентія. Гори продовжуються і на острові Ньюфаундленд.
Особливості Аппалачів обумовлені їхнім віком. Південна частина гірської країни була зібрана у складки сотні мільйонів років тому. Північна частина разом з островом Ньюфаундленд випробу-вала горотворення тільки в першій половині палеозою. Межею між ними вважають глибоку тек-тонічну западину, що проходить від озера Ері й по долині р. Гудзон.
Північні Аппалачі нижчі за Південні. Вони являють собою хвилясте плоскогір’я, над яким здіймаються гірські хребти, масиви й поодинокі гори. Найбільш гориста територія на північ від Нью-Йорка й на схід від озера Онтаріо.
У четвертинному періоді Північні Аппалачі покривали льодовик і залишили відкладення у ви-гляді кінцево-моренних валів, яких багато в міжгірних зниженнях.
1. Прямая пересекает две стороны треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?
Да.
По аксиоме: если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в плоскости.
2. Прямая пересекает вершину треугольника. Лежит ли она в плоскости этого треугольника?
Необязательно.
У прямой и плоскости только одна общая точка, значит прямая может лежать в плоскости, а может ее пересекать.
3. Три вершины параллелограмма лежат в плоскости. Принадлежит ли четвертая вершина параллелограмма этой плоскости?
Да.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Значит плоскость параллелограмма совпадает с данной.
4. Хорда окружности принадлежит плоскости. Верно ли утверждение, что и вся окружность лежит в этой плоскости?
Нет.
Плоскость окружности может пересекать данную плоскость по хорде.
5. Две пересекающиеся хорды окружности принадлежат плоскости. Верно ли утверждение, что любая точка окружности принадлежит этой плоскости?
Да.
Через любые две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Значит плоскость, в которой лежит окружность, и данная плоскость совпадают.
6. Сколько плоскостей можно провести через: три различные точки;
если точки не лежат на одной прямой - одну;если точки лежат на одной прямой - бесконечно много;две различные точки;
бесконечно много;через прямую и не лежащую на ней точку;
одну;через две параллельные прямые?
одну.7. Верно ли утверждение: любые три точки принадлежат плоскости;
верно;через любые три точки проходит единственная плоскость?
неверно, надо уточнить: не лежащие на одной прямой.8. Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости?
нет, прямая в плоскости и данная прямая могут быть скрещивающимися (см. рисунок);Может ли данная прямая пересечь какую-либо прямую, лежащую в плоскости?
нет, так как она не имеет с плоскостью общих точек.9. Средняя линия трапеции лежит в плоскости а. Пересекают ли основания трапеции эту плоскость?
Нет, они параллельны плоскости.
Основания и средняя линия параллельны, а если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна плоскости.
10. а) Прямая а параллельна линии пересечения плоскостей α и β. Каково взаимное расположение а и α; а и β ?
а║α или а лежит в α; а║β или а лежит в β (на рисунке возможные расположения прямой а).10. б) Прямая b не параллельна линии пересечения плоскостей α и β Каково взаимное расположение b и α; b и β?
Прямая b может лежать в одной из плоскостей и пересекать другую или b может пересекать обе плоскости (см. рисунок).11. Сколько можно провести через данную точку: прямых, параллельных данной плоскости; плоскостей, параллельных данной прямой?
бесконечно много;12. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают некоторую плоскость. Докажите, что прямые AD и DC пересекают эту плоскость.
Противоположные стороны параллелограмма параллельны, а если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.
13. Плоскость α параллельна одной из двух параллельных прямых. Каково взаимное расположение второй прямой и плоскости α?
Вторая прямая может лежать в плоскости, а может быть ей параллельна.
14. Сторона АВ параллелограмма ABCD лежит в плоскости α. Докажите, что сторона CD параллельна этой плоскости.
CD║AB как противоположные стороны параллелограмма, АВ лежит в плоскости, значит CD параллельна плоскости (признак параллельности прямой и плоскости)
15. Прямая пересекает плоскость. Можно ли в плоскости провести прямую, параллельную данной прямой?
Нет, параллельные прямые должны лежать в одной плоскости.
16. Две прямые параллельны одной плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны?
Нет, они могут быть скрещивающимися или пересекающимися
на рисунке для плоскости (АВС) КН и D₁C₁ скрещивающиеся, А₁С₁ и А₁В₁ пересекающиеся.
17. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, из которых одна параллельна некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость?
Эти прямые могут быть скрещивающимися или пересекающимися.
На рисунке для плоскости (АВС) А₁В₁ и СС₁ скрещивающиеся, а А₁В₁ и ВВ₁ пересекающиеся.
19. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b быть параллельными? Пересекаться?
Да.
На рисунке АА║ВВ₁, они скрещиваются с прямой DC; а прямые АА₁ и КН пересекаются, но тоже скрещиваются с прямой DC.
20. Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой?
Нет, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой, а данные прямые скрещивающиеся.
21. Прямая, не лежащая в плоскости параллелограмма, параллельна одной из его диагоналей. Каково взаимное расположение данной прямой и второй диагонали?
Скрещивающиеся.
На рисунке А₁С₁║АС, но А₁С₁ и BD скрещивающиеся.
22. Как могут быть расположены прямая и плоскость, если данная прямая и некоторая прямая, лежащая в этой плоскости, скрещиваются?
Прямая может быть параллельна плоскости, а может ее пересекать.
На рисунке для плоскости (АВС) А₁С₁ и BD скрещивающиеся, А₁С₁║(АВС); АА₁ и BD скрещивающиеся, АА₁∩(АВС).
В основі материка лежить Північноамериканська платформа, що на північному сході виходить на поверхню у вигляді Канадського кристалічного щита (платформа займає майже 3/4 поверхні материка й значну частину Канадського Арктичного архіпелагу й Гренландії). На заході в резуль-таті зіткнення Тихоокеанської й Північноамериканської літосферних плит сформувалася область середньої й молодої складчастості, що простягнулася з півночі на південь на 9000 км (через Центральну Америку вона тягнеться на південноамериканський материк). На сході до платформи приєднується область давньої й найдавнішої складчастості — гори Аппалачі з висотами до 2000 м.
Північно-східна частина платформи під вагою давнього льодовика подекуди прогнулася. Про-гини, заповнені пізніше водою, утворили Гудзонову затоку й більш дрібні затоки й протоки, що відокремили від материка Канадський Арктичний архіпелаг. Унаслідок розломів від платформи відокремився острів Гренландія.
(Подальшу свою розповідь учитель супроводжує демонстрацією ілюстрацій.) Під час льодовикової епохи клімат Північної півкулі був суворішим, ніж сьогодні. Гігантський льодовик, розбитий на окремі блоки, повільно сповзав, відколював дрібні уламки, захоплював цілі брили гірських порід і ніс їх із собою. На південній окраїні льодовик починав танути, численні річки й струмки виносили з-під льоду гальку, пісок, часточки глини. Іноді такі водні потоки протягом тривалого часу текли в льодовику, утворюючи своєрідний тунель, і тоді накопичувалися вузькі й довгі піщані й глиняні вали. Під дією талих вод утворювалися піщані наноси, простягнулися вузькі поздовжні піднесення, що нагадують залізничні насипи, по всій території виникли величезні валуни, талі води заповнили виорані льодовиком зниження й створили численні озера. Так утворився ландшафт, характерний для областей давнього зледеніння.
Середня висота Північної Америки над рівнем моря — 720 м, тоді як Південної — на 140 м ме-нше (580 м), однак максимальна висота більша в Південної Америки (г. Аконкагуа — 6960 м), на заході материків тягнуться молоді гори, на сході — старі гори (у Південній Америці — плоско-гір’я). Середня частина материків рівнинна. При цьому в Північній Америці низовини займають меншу площу, ніж височини, а в Південній Америці значна частина поверхні припадає на плоско-гір’я. Пояс гір на заході Північної Америки більш широкий, ніж у Південній. Перепад висот між гірським, західним районом і східним, рівнинним у Північній Америці не такий різкий, як у Пів-денній, оскільки на схід від гір Північної Америки тягнеться плоскогір’я (Великі рівнини), а потім уже низовина; у Південній Америці високогір’я відразу переходять у низовину.
Цікаві факти
Уздовж східного узбережжя Північної Америки в напрямку з південного заходу на північний схід простягнулися Аппалачські гори. Вони являють собою широку смугу хребтів і плато, що ви-тягнулася більш ніж на 2000 км від штату Алабама до затоки Св. Лаврентія. Гори продовжуються і на острові Ньюфаундленд.
Особливості Аппалачів обумовлені їхнім віком. Південна частина гірської країни була зібрана у складки сотні мільйонів років тому. Північна частина разом з островом Ньюфаундленд випробу-вала горотворення тільки в першій половині палеозою. Межею між ними вважають глибоку тек-тонічну западину, що проходить від озера Ері й по долині р. Гудзон.
Північні Аппалачі нижчі за Південні. Вони являють собою хвилясте плоскогір’я, над яким здіймаються гірські хребти, масиви й поодинокі гори. Найбільш гориста територія на північ від Нью-Йорка й на схід від озера Онтаріо.
У четвертинному періоді Північні Аппалачі покривали льодовик і залишили відкладення у ви-гляді кінцево-моренних валів, яких багато в міжгірних зниженнях.