Точки с (2; -3) и А, (-4; 1) — середины сторон AB и BC треугольника АВС соответственно. Вершина А име-
ет координаты (5; 6). Найдите координаты вершин
В и С.
В треугольнике ABC A (3; -1), B(-5; 7), C (1; 5). Най-
дите среднюю линию KP треугольника ABC, где точ-
ки Кир — середины сторон AB и ВС соответственно.
Расстояние между точками А (x; 3) и B (1; 5) равно 10.
Найдите х.
На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от то-
чек А (3; -2) и B (1; 2).
На прямой, содержащей биссектрисы первого и третье-
го координатных углов, найдите точку, равноудалён-
ную от точек А (1; 3) и В (3; 5).
Найдите координаты точки, делящей отрезок АВ в от-
ношении 3:1, считая от точки А, если А (3; -5),
В (-1; 7).
Четырёхугольник ABCD параллелограмм, А(-3; -2),
в (5; 3), C (3; -5). Найдите координаты вершины D.
Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами
в точках А (3; -4), B(-6; 1), C(-5; 2) и D (4; -3) явля-
ется параллелограммом.
Найдите длину отрезка, концы которого лежат на осях
координат, а серединой является точка м(-4; 3).
Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами
в точках А(-2; 1), В (1; 4), C (5; 0) и D (2; -3) являет-
ся прямоугольником.
Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами
в точках А (2; 1), В (5; -3), C (9; 0) и D (6; 4) является
квадратом.
Найдите координаты вершины А равностороннего тре-
угольника ABC, если известны координаты вершин В
(-2; 0), C (4; 0).
Точки А (-3; 1), В (2; 4) и C (1; -3) — середины сторон
некоторого треугольника. Найдите координаты его
вершин.

1. Найдите координаты вершин В и С треугольника ABC:
Для начала найдем координаты вершины B. Известно, что точка C является серединой стороны AB, поэтому для нахождения координат вершины B нужно удвоить каждую из координат точки C и вычесть соответствующие значения из координат точки A.

Координаты вершины B:
x-координата: (2 * 2) - 4 = 0
y-координата: (2 * 1) - 3 = -1

Таким образом, координаты вершины B равны (0; -1).

Затем найдем координаты вершины С. Известно, что точка А является серединой стороны BC, поэтому для нахождения координат вершины С нужно удвоить каждую из координат точки А и вычесть соответствующие значения из координат точки B.

Координаты вершины С:
x-координата: (2 * 5) - 0 = 10
y-координата: (2 * 6) - (-1) = 13

Таким образом, координаты вершины С равны (10; 13).

2. Найдите среднюю линию KP треугольника ABC:
Средняя линия KP для треугольника ABC будет проходить через середины сторон AB и BC. Найдем координаты точек K и P, используя соответствующие формулы.

Координаты точки K:
x-координата: (3 + (-5)) / 2 = -1
y-координата: (-1 + 7) / 2 = 3

Таким образом, координаты точки K равны (-1; 3).

Координаты точки P:
x-координата: (-5 + 1) / 2 = -2
y-координата: (7 + 5) / 2 = 6

Таким образом, координаты точки P равны (-2; 6).

Средняя линия KP будет проходить через точки K и P. Запишем ее уравнение.

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), можно найти, используя формулу:
(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)

Подставим значения координат точек K и P:

(y - 3) / (6 - 3) = (x - (-1)) / (-2 - (-1))

(y - 3) / 3 = (x + 1) / (-1)

Таким образом, уравнение средней линии KP треугольника ABC будет:
3(y - 3) = -3(x + 1)

3y - 9 = -3x - 3

3y = -3x + 6

y = -x + 2

3. Найдите значение х в уравнении расстояния между точками А (x; 3) и B (1; 5), равного 10:
Используя формулу для нахождения расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]

где d - расстояние между точками, (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек, найдем значение х.

10 = √[(1 - x)^2 + (5 - 3)^2]

100 = (1 - x)^2 + 4

100 = (1 - x)^2 + 4

(1 - x)^2 = 96

1 - x = ±√96

x = 1 ± √96

Таким образом, значение х может быть равно 1 + √96 или 1 - √96.

4. Найдите точку на оси абсцисс, равноудаленную от точек А (3; -2) и B (1; 2):
Для нахождения точки, равноудаленной от данных двух точек, найдем середину отрезка, соединяющего эти точки.

Координаты середины отрезка можно найти, используя формулы:
x-координата середины: (x1 + x2) / 2
y-координата середины: (y1 + y2) / 2

x-координата середины: (3 + 1) / 2 = 2
y-координата середины: (-2 + 2) / 2 = 0

Таким образом, координаты точки на оси абсцисс, равноудаленной от точек А (3; -2) и B (1; 2), равны (2; 0).

5. Найдите точку, равноудаленную от точек А (1; 3) и В (3; 5) на прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего координатных углов:
Для нахождения точки, равноудаленной от данных двух точек, найдем середину отрезка, соединяющего эти точки.

Координаты середины отрезка можно найти, используя формулы:
x-координата середины: (x1 + x2) / 2
y-координата середины: (y1 + y2) / 2

x-координата середины: (1 + 3) / 2 = 2
y-координата середины: (3 + 5) / 2 = 4

Таким образом, координаты точки, равноудаленной от точек А (1; 3) и В (3; 5), равны (2; 4).

6. Найдите координаты точки, делящей отрезок АВ в отношении 3:1, считая от точки А, если А (3; -5), В (-1; 7):
Для нахождения координат точки, делящей отрезок AB в заданном отношении, можно использовать формулу для нахождения координат точки на отрезке между двумя заданными точками:

x = (x1 * k + x2 * l) / (k + l)
y = (y1 * k + y2 * l) / (k + l)

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты заданных точек, k и l - соответственно числитель и знаменатель соотношения, с которым нужно делить отрезок.

Подставим значения координат точек A (3; -5) и B (-1; 7), а также отношение 3:1 (k = 3, l = 1):

x = (3 * 3 + (-1) * 1) / (3 + 1) = (9 - 1) / 4 = 8 / 4 = 2
y = (-5 * 3 + 7 * 1) / (3 + 1) = (-15 + 7) / 4 = -8 / 4 = -2

Таким образом, координаты точки, делящей отрезок АВ в отношении 3:1, считая от точки А, равны (2; -2).

7. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, зная, что A (-3; -2), B (5; 3), C (3; -5):
Параллелограммы имеют противоположные стороны, которые имеют одинаковую длину и параллельны друг другу. Для нахождения координат вершины D параллелограмма ABCD можно использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что диагонали параллелограмма пересекаются в их серединах. Следовательно, середины отрезков AC и BD совпадают.

Сначала найдем середину отрезка AC:

Координаты середины отрезка AC можно найти, используя формулы:
x-координата середины: (-3 + 3) / 2 = 0
y-координата середины: (-2 + (-5)) / 2 = -7 / 2 = -3.5

Середина отрезка AC имеет координаты (0; -3.5).

Затем найдем середину отрезка BD:

Координаты середины отрезка BD можно найти, используя формулы:
x-координата середины: (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4
y-координата середины: (3 + 3) / 2 = 6 / 2 = 3

Середина отрезка BD имеет координаты (4; 3).

Таким образом, координаты вершины D параллелограмма ABCD равны (0; -3.5).

8. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами A (3; -4), B (-6; 1), C (-5; 2) и D (4; -3) является параллелограммом:
Для доказательства, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно проверить, что противоположные стороны четырехугольника параллельны и имеют одинаковую длину.

Проверим параллельность и длины противоположных сторон.

Координаты вектора AB:
x-составляющая: -6 - 3 = -9
y-составляющая: 1 - (-4) = 5

Координаты вектора CD:
x-составляющая: 4 - (-5) = 9
y-составляющая: -3 - 2 = -5

Проверим, что вектор AB параллелен вектору CD, используя коэффициенты пропорциональности:

-9 / 9 = 5 / (-5)

-1 = -1

Вектор AB параллелен вектору CD.

Далее, проверим длины сторон.

Длина стороны AB:
√((-9)^2 + 5^2) = √(81 + 25) = √106

Длина стороны CD:
√(9^2 + (-5)^2) = √(81 + 25) = √106

Длины сторон AB и CD равны.

Таким образом, четырехугольник ABCD с вершинами A (3; -4), B (-6; 1), C (-5; 2) и D (4; -3) является параллелограммом.

9. Найдите длину отрезка, концы которого лежат на осях координат, а серединой является точка М (-4; 3):
Отрезок, лежащий на осях координат, будет вертикальным или горизонтальным. Длина такого отрезка может быть найдена как