Точку D, яка лежить на бісектрисі кута BAC, сполучено з точками B і C, які лежать на його сторонах так, що ∠ADB=∠ADC. Знайдіть довжину відрізка AC, якщо AD=7 см, AB=6 см.
Надо выбрать правильный ответ! 13 см 1 см 7 см 6 см
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы (назовем эту точку О). Координаты середины отрезка ВС: х = (- 3 + 1)/2 = - 1 у = (2 + 0)/2 = 1 Итак, прямая проходит через точки А(- 3 ; 0) и О(- 1 ; 1)
Уравнение прямой: y = kx + b Подставим координаты точек А и О в уравнение: 0 = -3k + b 1 = - k + b это система уравнений. Вычтем из второго первое: 1 = 2k b = 3k
Координаты точки С(0;y;0). (так как эта точка лежит на оси 0Y (дано). |AC|=√(1+(y+2)²+1)=√(2+y²+4y+4)=√(y²+4y+6). |CB|=√(9+(y-2)²+9)=√(18+y²-4y+4)=√(y²-4y+22). АС=СВ (дано), значит и АС²=СВ². Тогда y²+4y+6=y²-4y+22, 8y=16, y=2. Итак, точка С имеет координаты С(0;2;0). Пусть середина отрезка АВ - точка Н, тогда отрезок СН - высота равнобедренного треугольника АВС. Имеем: Н(2;0;-1) и |CH|=√(2²+(-2)²+(-1)²)=√(4+4+1)=√9 = 3. Половина основания: |АH|=√(1²+2²+(-2)²)=√(4+4+1)=√9 = 3. Тогда площадь треугольника АВС равна |CH|*|AH|=3*3=9. ответ: Sabc=9 ед².
Второй вариант: Мы видим после нахождения координат точки С(0;4;0), что вектора АС{-1;4;-1} и СВ{3;0;-3} перпендикулярны друг другу, так как их скалярное произведение равно 0: Xac*Xcb+Yac*Ycb+Zac*Zcb = -3+0+3=0. Тогда треугольник АВС прямоугольный с <C=90°и его площадь равна полупроизведению катетов: |AC|=√(1+16+1)=3√2 и |CB|=√(9+0+9)=3√2. Sabc=(1/2)*3√2*3√2=9 ед²
Длины сторон треугольника АВС:
АВ = √((-3 + 3)² + (0 - 2)²) = √4 = 2
ВС = √((- 3 - 1)² + (2 - 0)²) = √20 = 2√5
АС = √((- 3 - 1)² + (0 - 0)²) = √16 = 4
ВС - наибольшая сторона, значит ВС - гипотенуза, а ∠А = 90°.
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы (назовем эту точку О).
Координаты середины отрезка ВС:
х = (- 3 + 1)/2 = - 1
у = (2 + 0)/2 = 1
Итак, прямая проходит через точки
А(- 3 ; 0) и О(- 1 ; 1)
Уравнение прямой: y = kx + b
Подставим координаты точек А и О в уравнение:
0 = -3k + b
1 = - k + b это система уравнений.
Вычтем из второго первое:
1 = 2k
b = 3k
k = 1/2
b = 3/2
y = 1/2x + 3/2
|AC|=√(1+(y+2)²+1)=√(2+y²+4y+4)=√(y²+4y+6).
|CB|=√(9+(y-2)²+9)=√(18+y²-4y+4)=√(y²-4y+22).
АС=СВ (дано), значит и АС²=СВ². Тогда
y²+4y+6=y²-4y+22,
8y=16,
y=2. Итак, точка С имеет координаты С(0;2;0).
Пусть середина отрезка АВ - точка Н, тогда отрезок СН - высота равнобедренного треугольника АВС.
Имеем: Н(2;0;-1) и |CH|=√(2²+(-2)²+(-1)²)=√(4+4+1)=√9 = 3.
Половина основания: |АH|=√(1²+2²+(-2)²)=√(4+4+1)=√9 = 3.
Тогда площадь треугольника АВС равна
|CH|*|AH|=3*3=9.
ответ: Sabc=9 ед².
Второй вариант:
Мы видим после нахождения координат точки С(0;4;0), что вектора
АС{-1;4;-1} и СВ{3;0;-3} перпендикулярны друг другу, так как их скалярное произведение равно 0: Xac*Xcb+Yac*Ycb+Zac*Zcb = -3+0+3=0.
Тогда треугольник АВС прямоугольный с <C=90°и его площадь равна полупроизведению катетов: |AC|=√(1+16+1)=3√2 и |CB|=√(9+0+9)=3√2.
Sabc=(1/2)*3√2*3√2=9 ед²