Трапеція ABCD (AB || CD) така, що коло, описане навколо трикутника ABD, дотикається до прямої BC. Доведіть, що коло, описане навколо трикутника BCD, дотикається до прямої AD.

Перший випадок, це будь-який прямокутник.
Другий випадок, це паралелограм у якого одна діагональ перпендикулярна до двох протилежних сторін. Побудуємо такий паралелограм:
Побудуємо вертикальний відрізок довжиною, наприклад, 4 клітинки.
Позначимо його верхній кінець А, нижній кінець С.
Від точки А праворуч відкладемо 3 клітинки, поставимо точку В.
Від точки С ліворуч відкладемо 3 клітинки, поставимо точку D.
Проведемо відрізки АD і ВС. АВСD - паралелограм, АС - діагональ, яка поділила АВСD на два прямокутні трикутники.

См. рисунок во вложении.
Так как треугольник АВС равнобедренный, то уголы АВС и АСВ равны. Найдём их:
Сумма углов треугольника равна 180°, значит можно записать:
∠АВС+∠АСВ=180°-50°=130°
А так как углы равны, то ∠АВС=∠АСВ=130°:2=65°

Далее рассмотрим треугольник ADC. В нём DK - серединный перпендикуляр, следовательно АК=КС. Значит треугольник ADC равнобедренный и ∠DAC=∠DCA=50°.

Угол АСВ состоит из углов DCA и DCB, можно записать
∠АСВ=∠DCA+∠DCB  ⇒  ∠DCB=∠ACB-∠DCA
Подставляем найденные ранее значения углов и находим ∠DCB:
∠DCB=65°-50°=15°

ответ: ∠DCB=15°