Трапеция с основаниями 1 и 3 такова, что в неё можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. а) Докажите, что центр описанной около трапеции окружности расположен внутри трапеции. б) Найдите площадь круга, описанного около трапеции.
а) Доказательство:
1. Рассмотрим трапецию ABCD, где AB = 1, BC = 3.
2. Пусть O_1 - центр вписанной окружности, O_2 - центр описанной окружности.
3. Проведем радиусы окружностей O_1O_2, O_1A и O_2C.
4. Обозначим точку пересечения радиусов окружностей O_1O_2 и O_1A как K.
5. Поскольку O_1 - центр вписанной окружности, то радиус O_1A перпендикулярен к AB и BC.
То же самое верно и для радиуса O_2C.
6. Так как радиус O_2C является продолжением радиуса O_1A, то точка K будет лежать на прямой BC.
7. Рассмотрим треугольник O_1O_2C. Так как O_1A и O_2C перпендикулярны к BC,
то O_1O_2C будет прямоугольным треугольником с прямым углом при C.
8. Для того чтобы доказать, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции,
достаточно доказать, что O_2C < BC.
9. Рассмотрим треугольник O_1KC. Поскольку O_1A и O_2C подобны O_1KC,
можно написать пропорцию: O_1C/O_1K = O_2C/O_2K, или O_2C/O_1C = O_2K/O_1K.
10. Поскольку O_2K < O_1K (вписанная окружность меньше описанной),
то O_2C/O_1C < O_2C/O_1K.
11. Из пропорции O_2C/O_1C = O_2K/O_1K следует, что O_2C/O_1K < O_2C/O_1C.
12. Значит, O_2C < O_1C.
13. Отсюда следует, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции ABCD.
б) Теперь рассмотрим вторую часть вопроса - нахождение площади круга, описанного около трапеции.
1. Найдем диагональ трапеции. Обозначим ее как d.
2. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = 1, BC = 3, то AC = sqrt(1^2 + 3^2) = sqrt(10).
3. Диагональ d является гипотенузой прямоугольного треугольника O_1AC.
4. Так как O_1A - радиус вписанной окружности, O_1A = sqrt(10)/2 (половина диагонали AC).
5. Теперь найдем радиус описанной окружности, обозначим его как R.
6. Из теоремы Пифагора имеем R^2 = O_1A^2 + O_1C^2 = (sqrt(10)/2)^2 + (d/2)^2 = 10/4 + (d/2)^2 = 5/2 + (d/2)^2.
7. Так как диагональ d равна AC = sqrt(10), то можно записать R^2 = 5/2 + (sqrt(10)/2)^2 = 5/2 + 10/4 = 5/2 + 5/2 = 5.
8. Тогда радиус описанной окружности R = sqrt(5).
9. Площадь круга, описанного около трапеции, равна pi*R^2 = pi*(sqrt(5))^2 = 5pi.
Таким образом, мы доказали, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции, и нашли площадь круга, описанного около трапеции - 5pi.
а) Доказательство:
1. Рассмотрим трапецию ABCD, где AB = 1, BC = 3.
2. Пусть O_1 - центр вписанной окружности, O_2 - центр описанной окружности.
3. Проведем радиусы окружностей O_1O_2, O_1A и O_2C.
4. Обозначим точку пересечения радиусов окружностей O_1O_2 и O_1A как K.
5. Поскольку O_1 - центр вписанной окружности, то радиус O_1A перпендикулярен к AB и BC.
То же самое верно и для радиуса O_2C.
6. Так как радиус O_2C является продолжением радиуса O_1A, то точка K будет лежать на прямой BC.
7. Рассмотрим треугольник O_1O_2C. Так как O_1A и O_2C перпендикулярны к BC,
то O_1O_2C будет прямоугольным треугольником с прямым углом при C.
8. Для того чтобы доказать, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции,
достаточно доказать, что O_2C < BC.
9. Рассмотрим треугольник O_1KC. Поскольку O_1A и O_2C подобны O_1KC,
можно написать пропорцию: O_1C/O_1K = O_2C/O_2K, или O_2C/O_1C = O_2K/O_1K.
10. Поскольку O_2K < O_1K (вписанная окружность меньше описанной),
то O_2C/O_1C < O_2C/O_1K.
11. Из пропорции O_2C/O_1C = O_2K/O_1K следует, что O_2C/O_1K < O_2C/O_1C.
12. Значит, O_2C < O_1C.
13. Отсюда следует, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции ABCD.
б) Теперь рассмотрим вторую часть вопроса - нахождение площади круга, описанного около трапеции.
1. Найдем диагональ трапеции. Обозначим ее как d.
2. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = 1, BC = 3, то AC = sqrt(1^2 + 3^2) = sqrt(10).
3. Диагональ d является гипотенузой прямоугольного треугольника O_1AC.
4. Так как O_1A - радиус вписанной окружности, O_1A = sqrt(10)/2 (половина диагонали AC).
5. Теперь найдем радиус описанной окружности, обозначим его как R.
6. Из теоремы Пифагора имеем R^2 = O_1A^2 + O_1C^2 = (sqrt(10)/2)^2 + (d/2)^2 = 10/4 + (d/2)^2 = 5/2 + (d/2)^2.
7. Так как диагональ d равна AC = sqrt(10), то можно записать R^2 = 5/2 + (sqrt(10)/2)^2 = 5/2 + 10/4 = 5/2 + 5/2 = 5.
8. Тогда радиус описанной окружности R = sqrt(5).
9. Площадь круга, описанного около трапеции, равна pi*R^2 = pi*(sqrt(5))^2 = 5pi.
Таким образом, мы доказали, что центр описанной окружности лежит внутри трапеции, и нашли площадь круга, описанного около трапеции - 5pi.