Треугольники abc и adc лежат в разных плоскостях. pk - средняя линия треугольника adc с основанием ac. найти угол между прямыми pk и ab , если ∠bca=80°; ∠b=40°.

№1. Надо через середину вектора РC провести плоскость, перпендикулярную РC и найти точку пересечения этой плоскости и оси Z. Точка пересечения будет очевидно равноудалена от точек Р и С.
Вектор РC{-5;8;-1} (из координат начала вычитаем координаты конца), его середина -
точка М(1,5;-1;1,5) (координаты середины отрезка PC находим по формуле
x=(x1+x2)/2, y=(y1+y2)/2, z=(z1+z2)/2).
Уравнение плоскости, проходящей через точку М(Хо;Yo;Zo) перпендикулярно вектору
PC{n1;n2;n3}, выражается формулой:
n1(X-Xo)+n2(Y-Yo)+n3(Z-Zo)=0.
В нашем случае: -5Х+7,5+8Y+8-Z+1,5=0 или 5Х-8Y+z-17=0.
Тогда точка К пересечения этой плоскости с осью 0z (х=0 и y=0) будет иметь координаты К(0;0;17).
Сумма координат этой точки равна 17.

Проверка: найдем модули векторов КС и КР. Вектор КС{1;3;16}, вектор КР{4;-5;15}.
Модули векторов: |КC|= √(1+9+256)=√266. |KP|=√(16+25+225)=√266.Итак, расстояния от точки К до точек С и Р равны.

№2. Чтобы найти координаты вершины D параллелограмма, надо найти точку О пересечения его диагоналей (а так как в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, надо найти середину вектора АС) и найти координаты вектора ВD по координатам его начала (точка В) и середины (точка О).
Итак, координаты точки О (середина отрезка АС) находим по формуле: x=(x1+x2)/2, y=(y1+y2)/2, z=(z1+z2)/2).
В нашем случае это О(2,5;-0,5;-0,5). тогда координаты конца вектора ВD найдем по этой
же формуле, подставив известные значения точек В и О:
-2+Хd=5, 4+Yd=-1, -5+Zd=-1. Xd=7, Yd=-5, Zd=4. Итак, имеем точку D(7;-5;4).
Тогда сумма координат этой точки равна 6.

Проверка: Вектора АВ и CD (также как и  BC и АD) должны быть равны по модулю и коллинеарны. Найдем координаты векторов:
AB={-6;5;-8}, CD{6;-5;8}. BC{3;-4;-1}, AD{3;-4;1} И их модули:
|AB|=√125, |CD|=√125. |BC|=√26, |AD|=√26. Итак, фигура АВСD - параллелограмм.

По условию площадь АОД не равно площади ВОС,поэтому АД и ВС являются не боковыми сторонами,а основаниями трапеции.Тогда треугольники АОД и ВОС подобны по двум углам,а отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия k.Поэтому k=4/3=AO/OC.Поскольку треугольники АВО и СВО имеют общую высоту,проведенную из вершины В,то отношение их площадей равно отношению их оснований,то есть SABD/SCBD=AO/OC=4/3.Значит,SABD=4/3*SCBD=4/3*9=12.Площади АВД и АСД равны,т к эти треугольники имеют общее основание АД и их высоты ,проведенные к этому основанию,равны как высоты трапеции, следовательно, SAOB=SABD-SAOD=SACD-SAOD=SCOD;Поэтому и SCOD=12;SABCD=16+12*2+9=49 см.ответ:49 см