Треугольники авс и а1в1с1 подобны и их сходственные стороны относятся как 4: 3. площадь треугольника авс больше площади треугольника а1в1с1 на 50 см/2. найдите площади треугольников.
А) Если точки А, К, Е и В лежат на одной окружности, то четырёхугольник АКЕВ - вписанный. В нём ∠А+∠Е=∠К+∠В. СН⊥АВ, значит тр-ки АВС, АСН и СВН подобны. В тр-ке АСН НК⊥ АС, значит тр-ки АСН и НСК подобны. КСЕН - прямоугольник, значит тр-ки НСК и КЕН равны. Обозначим равные углы на рисунке. Сразу видно, что в четырёхугольнике АКЕВ ∠А+∠Е=∠К+∠В, значит он вписан в окружность. Доказано.
Б) Пусть АН=х, ВН=АВ-х=12-х. СН²=АН·ВН, 25=х(12-х), -х²+12х-25=0, х₁=6-√11, х₂=6+√11. АН=6-√11, ВН=6+√11. В тр-ке АСН АС²=СН²+АН²=25+(6-√11)²≈32.2, АС≈5.7. НК=АН·СН/АС=(6-√11)·5/5.7≈2.4, СЕ=НК, В тр-ке АСЕ АЕ=√(АС²+СЕ²)=√(32.2+2.4²)≈6.14, В тр-ке АВС sinB=АС/АВ=5.7/12≈0.47, В тр-ке ВАЕ АЕ/sinB=2R ⇒ R=АЕ/2sinB=6.14/(2·0.47)=6.5 - это ответ. На самом деле, радиус окружности, описанной вокруг любого из треугольников, образованных из вершин четырёхугольника АКЕВ, равен радиусу описанной окружности вокруг самого четырёхугольника.
Объём имеющейся воды в первой ёмкости: Vв=40·40·10=16000 см³.
При погружении пустой ёмкости на дно первого сосуда уровень воды выровняется по высоте пустой ёмкости (14 см), значит объём воды, находящейся между стенками двух ёмкостей будет равен: V1=40·40·14-Vп=22400-7000=15400 см³.
Объём лишней воды, перетекшей в пустую ёмкость: V2=Vв-V1=16000-15400=600 см³.
Уровень воды, которой достигнет вода во второй ёмкости можно вывести из формулы объёма для этой ёмкости: 25·20·h=600, 500h=600, h=1.2 см - это ответ.
СН⊥АВ, значит тр-ки АВС, АСН и СВН подобны.
В тр-ке АСН НК⊥ АС, значит тр-ки АСН и НСК подобны.
КСЕН - прямоугольник, значит тр-ки НСК и КЕН равны.
Обозначим равные углы на рисунке. Сразу видно, что в четырёхугольнике АКЕВ ∠А+∠Е=∠К+∠В, значит он вписан в окружность.
Доказано.
Б) Пусть АН=х, ВН=АВ-х=12-х.
СН²=АН·ВН,
25=х(12-х),
-х²+12х-25=0,
х₁=6-√11, х₂=6+√11.
АН=6-√11, ВН=6+√11.
В тр-ке АСН АС²=СН²+АН²=25+(6-√11)²≈32.2,
АС≈5.7.
НК=АН·СН/АС=(6-√11)·5/5.7≈2.4,
СЕ=НК,
В тр-ке АСЕ АЕ=√(АС²+СЕ²)=√(32.2+2.4²)≈6.14,
В тр-ке АВС sinB=АС/АВ=5.7/12≈0.47,
В тр-ке ВАЕ АЕ/sinB=2R ⇒ R=АЕ/2sinB=6.14/(2·0.47)=6.5 - это ответ.
На самом деле, радиус окружности, описанной вокруг любого из треугольников, образованных из вершин четырёхугольника АКЕВ, равен радиусу описанной окружности вокруг самого четырёхугольника.
Объём имеющейся воды в первой ёмкости: Vв=40·40·10=16000 см³.
При погружении пустой ёмкости на дно первого сосуда уровень воды выровняется по высоте пустой ёмкости (14 см), значит объём воды, находящейся между стенками двух ёмкостей будет равен:
V1=40·40·14-Vп=22400-7000=15400 см³.
Объём лишней воды, перетекшей в пустую ёмкость: V2=Vв-V1=16000-15400=600 см³.
Уровень воды, которой достигнет вода во второй ёмкости можно вывести из формулы объёма для этой ёмкости:
25·20·h=600,
500h=600,
h=1.2 см - это ответ.