Три вершины а,в,с,параллелограмма abcd лежат на окружности, которую прямая bd пересекает в точке м так, что dm=2,25.найдите bd , если ab=3 , bc=4.

Пусть  ABCA₁B₁C₁  данная    пирамида ,   M  середина ребра  B₁C₁ (B₁M = MC₁) ; N середина  BC  (BN = NC)  ; MN _ апофема ; < MNA =α=60°.

 Sбок = 3*(a+b)/2*MN =3*(6+2)/2 *MN =12MN =12h  ( замена MN  =h).
Сначала  рассматриваем  равнобедренная (CC₁=B₁B)  трапеция  CC₁B₁B  :  
CB =a =6 см  , C₁B₁ =b=2 см  , MN =h (пока неизвестная ) .
 AA₁ =CC₁= BB₁  .
CC₁² =( (a -b)/2)² +h² = ((6-2)/2)² +h² =h²+4 ;
Теперь рассмотриваем трапеция  AA₁MN :
 AA₁ =CC₁ ; AN =a√3/2 =6√3/2 =3√3 ;A₁M =b√3/2 =2√3/2 =√3;
опустим из вершин A₁  и  M  перпендикуляры   A₁E ┴  AN    и  MF ┴ AN.
Из  ΔMFN :
высота этой трапеции  (собственно высота пирамиды)
 h₁=A₁E = MF  =MN*sinα =h*sinα =h*sin60°=h√3/2   ; NF =MN*cosα = h*cos60°=h/2.
Из  ΔAA₁E:
AA₁²= AE² +A₁E² =(2√3 -h/2)² +(h√3/2)² ;    
 ***AN= AE+EF +FC =AE +A₁M +FC ⇔3√3=AE +√3 +h/2 ⇒AE=2√3 - h/2***
h²+4 =12 - 2√3h+h²/4 +3/4h² ⇒ h =4/√3 .
 Окончательно :
Sбок = 12h =12*4/√3 =16√3 .
ответ : 16√3.

В общем рассмотрели две трапеции  CC₁B₁B и  AA₁MN .

Пусть а - сторона ромба,

d - меньшая диагональ параллелограмма.

BD = d, ⇒ AC = 28d.

Стороны ромба параллельны диагоналям, значит угол между сторонами ромба равен углу между диагоналями (α).

Sромба = а²·sinα

Sabcd = 1/2·AC·BD·sinα = 1/2·28d·d·sinα = 14d²sinα

Sромба : Sabcd = a²/(14d²)

ΔCFK подобен ΔCBD по двум углам (угол при вершине С общий, ∠CFK = ∠CBD как соответственные при пересечении параллельных прямых FK и BD секущей СВ):

CF : CB = FK : BD = a : d (1)

ΔBEF подобен ΔBAC по двум углам (угол при вершине А общий, ∠BEF = ∠BAC как соответственные при пересечении параллельных прямых ЕF и АС секущей АВ):

BF : CB = EF : AC = a : (28d) (2)

Разделим равенство (1) на (2):

CF : BF = 28 : 1, тогда

CF : CB = 28 : 29, значит и

a : d = 28 : 29

Подставим это отношение в отношение площадей:

Sромба : Sabcd = a²/(14d²) = 28² / (14·29²) = 2² · 14² / (14 · 29²) = 4 · 14 / 29²

Sромба : Sabcd = 56/841