Трикутник ABC описано навколо кола, M,N,K - точки дотику кола до сторін трикутника AB, CB, AC відповідно. Знайдіть відрізок CN якщо AK=7 MB=10 , , а періметр трикутника дорівнює 50 см.

Сторону а основания найдём по теореме косинусов:
а = √(8²+8²-2*8*8*(√3/2)) = 8√(2-√3) ≈  4,1411047 см.
Далее можно идти двумя путями:
 -1) по формуле Герона по трём сторонам найти площадь грани и умножать её на 6,
 -2)  найти высоту Н грани, и по ней и периметру основания найти площадь боковой поверхности.

 1) S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).
      р = (2*8+4,1411047)/2 =  10,07055 см.
     Подставляем:
     S = √(10,07055*2,07055236 *5,9294476 *2,0705524) = √256 = 16 см².
     Тогда Sбок = 6S = 6*16 = 96 см².

 2) Периметр основания Р = 6а = 6*4,1411047 =  24,84663 см.
     Н = 8*cos 15° = 8*0,965926 = 7,72740661 см.
     Sбок = (1/2)РН = (1/2)*24,84663*7,72740661 = 96 см².
     

Дана пирамида ДАВС, АВ=ВС, r = 3 см, h = ВЕ = 8 см, Н = ДО = 4 см.

Так как основание высоты попадает в точку пересечения биссектрис этого треугольника, то оно совпадает с центром вписанной окружности.
Рассмотрим треугольник ВОК, где К - точка касания стороны АВ.
По Пифагору КВ = √(8-3)² - 3²) = 4 см.
Тангенс половины угла В равен 3/4, а синус равен 3/5.
Находим половину стороны АС:
(1/2)АС = АЕ = 8*tg(B/2) = 8*(3/4) = 6 см.
Сторона АС = 2*6 = 12 см.
Сторона АВ = ВС = 6/(3/5) = 10 см.
Периметр основания Р = 2*10+12 = 32 см.
Высота h каждой грани равна:
h = √(r² + H²) = √(3² + 4²) = 5 см.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна:
Sбок = (1/2)Рh = (1/2)*32*5 = 80 см².