Диагонали выпуклого четырехугольника равны a и b и пересекаются под углом a=45 градусов. Найти площадь четырехугольника с вершинами на середина сторон данного четырехугольника
Проведем сравниваемые плоскости в данном кубе, соединив указанные в условии точки.
Имеем две плоскости - 2 треугольника -АСВ1 и авс.
По условию задачи сВ=аВ, Вв=вВ1. Все эти отрезки равны между собой, т.к. являются половинами ребер куба.
Треугольник АСВ1 являет собой равносторонний треугольник, т.к. его стороны равны диагоналям граней куба, а грани куба, как известно, равны.
Стороны св=ва=ас - средние линии треугольников СВВ1, АВВ1, АВС соответственно. Средние линии треугольников параллельны основаниям.
св║СВ1
ав║АВ1.
Нет необходимости доказывать, что ав перескается с вс, а АВ1 пересекается с СВ1
Еcли две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны, что и требовалось доказать.
2)
Вычислите периметр треугольника ACB1, если ребро = 2см.
Поскольку стороны этого треугольника - диагонали граней куба, а его грани - квадраты со стороной 2 см, найдем длину диагонали куба и затем уже периметр треугольника.
Известна формула диагонали куба. Эта формула выведена из теоремы Пифагора, легко запоминается и при решении задач бывает часто нужна:
Диагонали выпуклого четырехугольника равны a и b и пересекаются под углом a=45 градусов. Найти площадь четырехугольника с вершинами на середина сторон данного четырехугольника
Объяснение:
МКНР -выпуклый четырехугольник ,МН=а , КР=b ,О-точка пересечения диагоналей , ∠КОН=45°.
Пусть А, В, С, Д-середины сторон. Тогда
АД-средняя линия ΔМВН , АД=1/2*а;
ВС-средняя линия ΔМРН , ВС=1/2*а;
АВ-средняя линия ΔКНР , АВ=1/2*b ;
СД-средняя линия ΔКМР , АВ=1/2*b . Получили , что противоположные стороны попарно равны⇒ АВСД-параллелограмм , по признаку параллелограмма.
S=a*b*sinα , Найдем угол α между сторонами параллелограмма.
Т.к АД║МН , АВ║КР , по свойству средней линии , то синяя фигура на чертеже -параллелограмм, у которой противоположные углы равны⇒∠ДАВ=45°.
S=АД*АВ*sin∠ДАВ =1/2*а*1/2*b*sin45°=1/4*ab*√2/2=(ab√2)/8.
Объяснение:
Проведем сравниваемые плоскости в данном кубе, соединив указанные в условии точки.
Имеем две плоскости - 2 треугольника -АСВ1 и авс.
По условию задачи сВ=аВ, Вв=вВ1. Все эти отрезки равны между собой, т.к. являются половинами ребер куба.
Треугольник АСВ1 являет собой равносторонний треугольник, т.к. его стороны равны диагоналям граней куба, а грани куба, как известно, равны.
Стороны св=ва=ас - средние линии треугольников СВВ1, АВВ1, АВС соответственно. Средние линии треугольников параллельны основаниям.
св║СВ1
ав║АВ1.
Нет необходимости доказывать, что ав перескается с вс, а АВ1 пересекается с СВ1
Еcли две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны, что и требовалось доказать.
2)
Вычислите периметр треугольника ACB1, если ребро = 2см.
Поскольку стороны этого треугольника - диагонали граней куба, а его грани - квадраты со стороной 2 см, найдем длину диагонали куба и затем уже периметр треугольника.
Известна формула диагонали куба. Эта формула выведена из теоремы Пифагора, легко запоминается и при решении задач бывает часто нужна:
d=а√2
а=2
d=2√2 см
АС=СВ1=АВ1=2√2 см
Периметр треугольника ACB1
Р=3d=3*2√2=6√2 см
.