У чотирикутнику АВСD, вписаному в коло, кут А дорівнюс 70°, а градусні мі- ри кутів В та D відносяться як 4:5. Знайти невідомі кути чотирикутника (див. рис.)​​

Радиус перпендикулярен касательной в точке касания. Касательные из одной точки к окружности равны. Отрезки, соединяющие центр окружности и точку, из которой проведены касательные являются биссектрисами углов между этими касательными и углов между радиусами, проведенными к этим касательным в точки касания. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Сумма всех углов с вершиной в центре окружности равна 360°.  Следовательно:

<NML=2*28=56°, <MNL=2*31=62°, <NLM=180-56-62=62°, <AOM=90-28=62°, <AON=90-31=59°, <NOB=<AON=59°, <MOC=<AOM=62°, <AOC=2*<AOM=124°, <AOB=2*<AON=118°, <COB=360-124-118=118°, <COL=<BOL=<COB:2 = 59°.

A)По т.Менелая 

(СД:ДА)•(АЕ:ЕК)•(ВК:ВС)=1 

(, откуда получим ВК:ЕК=1, следовательно, ВК=ЕК.  

2)Проверим ∆ АВС по т.Пифагора.

AB² > АС²+ВС² => угол С тупой.

По ф.Герона S(ABC)-√(14•7•6•1)=14√3 

ВD- медиана и делит треугольник на два равных по площади. 

S(BCD)=7√3

По другой формуле 

S (ABC)=AC•BC•sinC:2

14√3=8•7•sinC:2 => sinC=√3/2 => тупой угол С=120° 

(Можно подтвердить по т.косинусов – получим cos C= -1/2)

Из вершины А проведем высоту АН. 

Высота тупоугольного треугольника, проведенная из острого угла, находится вне треугольника и пересекается с продолжением стороны, к которой проведена. 

Угол АСН =180°-120°=60°( смежный углу АСВ)

НС=АС•cos60°=4

AH=AC•sin60°=4√3

Примем ВК=ЕК=х

В ∆ АНК

АК=АЕ+ЕК=7+х

КС=ВС-ВК=7-х

АК²=АН²+КН² =(7+х)²=(4√3)²+(4+7-х)²

49+14х+х²=121-22х+х²+48=>

ВК=х=10/3

СК=7-10/3=11/3 

AK=7+10/3=31/3

Площадь  DЕКС найдем из разности площадей ∆ АСК и ∆ АЕD. 

S(AKC)=AH•CK:2=(4√3•11/3):2=22/√3 => 

sinCAK=22/√3:(8•31/6)=11√3/62 

S(AED)=AD•AE•sinA:2=77√3/31

S(CDEK)= (ед. площади)