У давньому Китаї зародилася гра (за легендою, її придумав китаєць Тан) — з певних геометричних фігур («танграмів»), складали різні силуети. Танграми вирізали із чорного картону або випилювали з дерева, тому силуети виходили правдоподібними (мал. 338, 339). На малюнку 340 ви бачите квадрат ABCD, у якому проведено відрізки — лінії розрізу квадрата для одержання танграмів. Точки K, М, L, G, I — середини відповідних відрізків. 1) Форму яких геометричних фігур мають танграми:
а) на малюнку 338;
б) на малюнку 339?
Відповідь обґрунтуйте.
2) Чи є серед танграмів подібні фігури:
а) на малюнку 338;
б) на малюнку 339?
Відповідь обґрунтуйте.
3) Чи є серед танграмів подібні фігури з коефіцієнтом 1:
а) на малюнку 338;
б) на малюнку 339?
Відповідь обґрунтуйте.
4) Якщо серед танграмів є подібні фігури, то який коефіцієнт їх подібності:
а) на малюнку 338;
б) на малюнку 339?
Відповідь обґрунтуйте.
5) Скільки рівних і скільки подібних танграмів використали для складання:
а) силуету на малюнку 338;
б) силуету на малюнку 339;
в) силуетів на обох малюнках разом?
6) Придумайте інший силует, який можна скласти із танграмів.

ответ:   Угол А=68°

Объяснение:

    Треугольник, вершинами которого являются основания высот какого либо треугольника, называется ортотреугольником.

а) В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.

б) Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.

     Для решения   данной задачи достаточно применить второе из указанных свойств.

     Высоты ∆ АВС перпендикулярны его сторонам.

∠ВВ1 делит угол В1 на два по 66°:2=33°. ⇒ ∠С1В1А=∠ВВ1А-∠ВВ1С1=90°-33°=57°

Аналогично ∠В1С1А=90°-0,5∠А1С1В1=90°-70°:2=55°.

Сумма углов треугольника  180°⇒

∠А=180°-(АС1В1+АВ1С1)=180°-(57°+55°)=68°.  

Углы В и С вычисляются таким же образом:

∠В=57°, ∠С=55°

—————

Обратим внимание на то, что углы при вершинах  ∆ АВС равны разности между прямым углом и половиной угла ортотреугольника при основании высоты из вершины исходного треугольника..

Для угла А=90°- 0,5•угол А1=90°-22°=68°

Для угла В=90°-0,5•угол В1=90°-33°=57°

Для угла С=90°-0,5•угол С1=90°-35°=55°

Отрезок BC виден из точек С1 и B1 под прямым углом - точки B, C1, B1, C лежат на окружности c центром в середине BC.

B1BC1 =C1CB1

A1BC1H, A1CB1H - вписанные четырехугольники (т.к. противоположные углы прямые).

HA1C1 =HBC1, HA1B1=HCB1 => HA1C1=HA1B1

(т.е. высота AA1 треугольника ABC является биссектрисой угла A1 ортотреугольника A1B1C1)

∪B1C1 =2B1BC1 =A1 =44  

Если треугольник остроугольный, найдем BAC как угол между секущими:

BAC =∪BC/2 -∪B1C1/2 =90-22 =68

Если треугольник тупоугольный - рассмотрим △HBC - найдем BHC как угол между хордами:

BHC =∪BC/2 +∪B1C1/2 =90+22 =112  

---------------------------------

М - середина BC. B1MC1 =∪B1C1 (центральный угол) =A1, т.е. M лежит на описанной окружности △A1B1C1.

Аналогично для всех середин сторон △ABC и середин сторон △AHB, △BHC, △AHC (для этих треугольников △A1B1C1 является ортотреугольником).

Описанная окружность ортотреугольника называется окружностью девяти точек или окружностью Эйлера (основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершины лежат на одной окружности).