Диагональ трапеции перпендикулярна к ее основаниям; тупой угол, прилежащий к большему основанию, равен 120, а боковая сторона, которая прилегает к нему, равна 7 см. Определить среднюю линию трапеции, если ее большая сторона равна 12 см.
Трапеция АВСД: диагональ АС⊥АД, АС⊥ВС, угол А=120°, АВ=7, СД=12 (большая сторона в ΔАСД) <А=<ВАС+<САД, откуда <ВАС=120-90=30° Из прямоугольного ΔАВС: ВС=АВ/2=7/2=3,5 (катет против угла в 30° равен половине гипотенузы) АС=АВ*сos 30=7*√3/2=3,5√3 Из прямоугольного ΔАСД: АД²=СД²-АС²=144-36,75=107,25 АД=0,5√429 Средняя линия равна (ВС+АД)/2=(3,5+0,5√429)/2=1,75+0,25√429≈6,9
угол СВЕ=угол СDE=60⁰
CL-высота параллелограмма
ΔСLD-прямоугольный, угол LCD=90°-60°=30° ⇒ LD=0.5*CD=0.5*10=5
CL²=CD²-LD²=10²-5²=100-25=75
CL=√75=5√3
угол между плоскостями измеряется линейным углом АКh=a (угол AKC=угол СКh=90°) из свойства параллелограмма: угол СКh=угол КhE ⇒ Kh-высота ⇒
Kh=СL=5√3
АК-высота ΔАВС, т.к. ΔАВС-равносторонний (сторона=8см),то
СК=0,5*СВ=0,5*8=4
АК²=АС²-СК²=8²-4²=64-16=48
АК=√48=4√3
АК=4√3, Kh=5√3, Ah=√33
для нахождения косинуса угла а воспользуемся теоремой косинусов:
с²=а²+в²-2ав*сosa
cosa=(a²+в²-с²)/2ав=(АК²+Кh²-Ah²) / 2*AK*Kh=(АК²+Кh²*-Ah²) / 2*AK*Kh=
( (4√3)²+(5√3)²-(√33)² ) / 2*4√3*5√3=(48+75-33) / 120=90/120=3/4
отв: cos a=3/4
Трапеция АВСД: диагональ АС⊥АД, АС⊥ВС, угол А=120°, АВ=7, СД=12 (большая сторона в ΔАСД)
<А=<ВАС+<САД, откуда <ВАС=120-90=30°
Из прямоугольного ΔАВС:
ВС=АВ/2=7/2=3,5 (катет против угла в 30° равен половине гипотенузы)
АС=АВ*сos 30=7*√3/2=3,5√3
Из прямоугольного ΔАСД:
АД²=СД²-АС²=144-36,75=107,25
АД=0,5√429
Средняя линия равна (ВС+АД)/2=(3,5+0,5√429)/2=1,75+0,25√429≈6,9