У колі з центром у точці О проведено дві рівні хорди АВ і CD. Доведіть, що AC =BD.

1) 
Sбок = 3 * 1/2 * b² * sin β  (3 равных боковых грани - равнобедренные треугольники, их площадь: половина произведения сторон на синус угла между ними)
Пусть а - сторона основания. Из треугольника боковой грани по теореме косинусов:
a = √ (2b² - 2b²*cosβ)   (все выражение под корнем)
Sосн = a²√3/4 = (2b² - 2b²*cosβ)√3/4
Sполн = Sбок + Sосн = 3/2 * b² * sin β + (2b² - 2b²*cosβ)√3/4 = 
= (b²/2) * (3sinβ + √3 - √3cosβ)
2) 
Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, т.е. d - это отрезок серединного перпендикуляра.
x = d * ctg(α/2) ⇒  2x = 2d * ctg(α/2)
Sграни = 1/2 (2x)² * sin α = 2x²sinα = 2 d² * ctg²(α/2) * sinα(формула площади треугольника та же)
Sбок = 4 * Sграни = 8 d² * ctg²(α/2) * sinα
3)
∠ACB = α
BC = a/2 (половина стороны основания)
BH ⊥AC ⇒BH - расстояние от В до боковой грани, BH = d
a/2 = d/sin α    (ΔBHC)   ⇒  a = 2d / sin α
ΔABC: AC = a/2 /cos α = (d / sin α) / cosα = d / (sin α cos α)
Sбок = 1/2 Pосн * AC = 1/2 * 4 * a * AC = 2a * AC = 2 * 2d / sin α * d / (sin α cos α) = 
= 4 d² / (sin²α * cosα)
Sосн = a² = 4d² / sin²α
Sп.п. = Sбок + Sосн = 4 d² / (sin²α * cosα) + 4d² / sin²α = 4d² / sin²α * (1 / cosα + 1)

Начертим окружность с центром в точке А произвольного радиуса (большего, чем расстояние до прямой ВС). Точки пересечения этой окружности с прямой ВС - К и М.
Начертим две  окружности одинакового произвольного радиуса (большего половины отрезка КМ) с центрами в точках К и М.
Через точки пересечения этих окружностей (Е и F) проводим прямую.
EF ∩ BC = H. АН - искомая высота.

Прямая EF всегда пройдет через точку А, так как является серединным перпендикуляром к отрезку КМ, а точка А равноудалена от концов этого отрезка, а значит лежит на серединном перпендикуляре.