У конус осьовий переріз якого є ріаностороннім трикутником твірна дорівнює 10 корінь із 3 см знайти радіус кулі вписано в конус

1. Прежде заметим, что AB = CD = 3√2; AD = BC = 5; (рисунок) ∠A = ∠C = 45°; ∠B = ∠D = 180° - 45° = 135° (Свойства параллелограмма)

а) AD · AB = BC · AB = |BC| · |AB| · cos ∠A = 5 · 3√2 · cos 45° = 15√2 · √2 / 2 = 15

б) BA · BC = |BA| · |BC| · cos ∠B =  3√2 · 5 · cos 135° = -15√2 · √2/2 = -15

в) AD · BH = 0, так как AD ⊥ BH

2.  a {-4; 5}, b {-5; 4} - вектора

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ = -4·(-5) + 5·4 = 20 + 20 = 40

3.  a {-12; 5}, b {3; 4} - вектора

cos ∠(a, b) = a · b / (|a| · |b|)  

a · b = -12·3 + 5·4 = -36 + 20 = -16

|a|² = (-12)² + 5² = 144 + 25 = 169 ⇒ |a| = √169 = 13

|b|² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 ⇒ |b| = √25 = 5

cos ∠(a, b) = -16 / (13·5) = -16/65

4.  m {3; y}, n {2; -6} - ненулевые вектора

m ⊥ n ⇔ m·n = 0 (m,n ≠ 0)

Вроде так

m·n = 3·2 + y·(-6) = 6 - 6y = 0

-6y = -6

y = 1

5. Для того, чтобы "выйти" на cos ∠B нам понадобятся вектора BA и BC. Найдем их координаты:

BA {3 - 0; 9 - 6} = {3; 3}

BC {4 - 0; 2 - 6} = {4; -4}

BA · BC = 3 · 4 + 3 · (-4) = 12 - 12 = 0.

Так как BA, BC ≠ 0 ⇒ BA ⊥ BC ⇒ cos ∠B = 0

Объяснение:

1) Периметр трапеции ABCD равен 72 см.

2) Углы четырехугольника, вписанного в окружность:

∠A = 10°; ∠B = 165°; ∠C = 170°; ∠D = 15°.

3)Градусная мера дуги, которую отсекает от окружности большее основание трапеции, равна 305°.

Объяснение:

1) Требуется найти периметр прямоугольной трапеции, в которую вписали окружность.

Дано: АВСД - прямоугольная трапеция.

Окр.О,R;

∠D=30°;

ОМ = 6 см.

Найти: .

Для того, чтобы найти периметр, необходимо найти все стороны трапеции.

1. Рассмотрим АВРК.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒ АВРК - прямоугольник.

AB = 2R = 6*2 = 12 (см)

Противоположные стороны прямоугольника равны.

ВР = АК = R = 6 см

2. Рассмотрим ΔНСD - прямоугольный (СН - высота).

∠D = 30°

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ CD = 2*CH = 12 * 2 = 24 (см)

3. CD = CE + ED = 24 см.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

⇒ PC = CE; KD = DE.

или РС + KD = 24 см.

4. Теперь найдем периметр трапеции ABCD.

Периметр - сумма длин всех сторон.

= AB + BC + CD + AD = AB +BP + PC + CD + AK + KD =

= 12 + 6 + 24 +24 + 6 = 72 (см)

Периметр трапеции ABCD равен 72 см.

2) Требуется найди все углы четырехугольника, вписанного в окружность.

Дано: ABCD - вписанный четырехугольник.

∠C + ∠D = 185°; ∠C - ∠D = 155°

Найти: ∠A; ∠B; ∠C; ∠D.

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна 180°.

Так нам дана сумма углов, равная 185°, то рассматривать противоположные углы мы не можем. Поэтому выбрали ∠С и ∠D.

1. По условию

∠C + ∠D = 185°

∠C - ∠D = 155°

Сложив эти два уравнения, получим:

2∠С = 340°   |:2

∠C = 170°

Подставив это значение в любое из уравнений, получим

∠D = 15°

2. Теперь найдем остальные углы четырехугольника, вписанного в окружность.

∠A + ∠C = 180°   ⇒   ∠A = 180° - 170° = 10°

∠B + ∠D = 180°   ⇒   ∠B = 180° - 15° = 165°

Углы четырехугольника, вписанного в окружность:

∠A = 10°; ∠B = 165°; ∠C = 170°; ∠D = 15°.

3) Требуется найди градусную меру дуги, которую отсекает от окружности большее основание трапеции.

Дано: Окр.О;

ABCD - трапеция, вписанная  в окружность.

∪АВ = 20°; ∪ВС = 15°

Найти: ∪АmD.

Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

⇒ ABCD - равнобедренная трапеция, то есть

AB = CD.

Равные хорды стягивают равные дуги.

⇒ ∪АВ = ∪CD = 20°

Градусная мера всей окружности равна 360 °.

⇒  ∪АmD = 360° - (∪АВ + ∪ВС +∪CD) = 360° - 55° = 305°

Градусная мера дуги, которую отсекает от окружности большее основание трапеции, равна 305°.