у меня завтра кр 1. На координатной плоскости заданы точки A(-1;0), B(-3;6), C(3;2), D(1;-2). Найдите разложение вектора AB по векторам AF и FG если F,G - середины отрезков BC и DC соответственно
2. На сторонах AB и BC прямоугольника MABC выбраны точки P и T соответственно так, что AP: PB = 1:6, BT : TC = 4:1. Найдите косинус угла между прямыми AT и PM
Давайте посмотрим на каждый вопрос по отдельности и найдем решение:
1. Найдем векторы AF и FG:
Вектор AF имеет начало в точке F (середина отрезка BC) и конец в точке A. Значит, его координаты можно получить, вычтя из координат точки A координаты точки F.
AF = (xA - xF; yA - yF)
В данном случае, координаты точки A равны (-1;0), а координаты точки F можно найти, найдя среднее арифметическое координат точек B и C:
xF = (xB + xC) / 2
yF = (yB + yC) / 2
Заменяя значения, получим:
xF = (-3 + 3) / 2 = 0
yF = (6 + 2) / 2 = 4
Подставляя значения координат вектора AF, получаем:
AF = (-1 - 0; 0 - 4) = (-1; -4)
Вектор FG имеет начало в точке F и конец в точке G, которая является серединой отрезка DC. Аналогично, можно найти его координаты:
FG = (xG - xF; yG - yF)
xG = (xD + xC) / 2
yG = (yD + yC) / 2
Заменяя значения, получим:
xG = (1 + 3) / 2 = 2
yG = (-2 + 2) / 2 = 0
Подставляя значения координат вектора FG, получаем:
FG = (2 - 0; 0 - 4) = (2; -4)
Теперь найдем разложение вектора AB по векторам AF и FG. Это можно сделать, используя формулу:
AB = α * AF + β * FG
где α и β - коэффициенты, которые нужно найти.
Поскольку AB = (xB - xA; yB - yA) = (-3 - (-1); 6 - 0) = (-2; 6), можем подставить эти значения в формулу:
(-2; 6) = α * (-1; -4) + β * (2; -4)
Это можно записать в виде системы уравнений:
-2 = -α + 2β (1)
6 = -4α - 4β (2)
Решим данную систему уравнений методом подстановки.
Из уравнения (1) выразим α через β:
-α = -2β + 2 --> α = 2β - 2 (3)
Подставим это значение α в уравнение (2):
6 = -4(2β - 2) - 4β
6 = -8β + 8 - 4β
10β = 2
β = 2/10 = 1/5
Теперь найдем α, подставив значение β в уравнение (3):
α = 2(1/5) - 2 = 2/5 - 10/5 = -8/5
Таким образом, разложение вектора AB по векторам AF и FG будет равно:
AB = (-2; 6) = (-8/5) * (-1; -4) + (1/5) * (2; -4)
2. Найдем косинус угла между прямыми AT и PM:
Для начала, найдем вектора AT и PM.
Вектор AT имеет начало в точке A и конец в точке T. Его координаты можно получить, вычтя из координат точки T координаты точки A:
AT = (xT - xA; yT - yA)
Координаты точки A уже даны - (-1;0).
Теперь найдем координаты точки T, используя соотношение длин отрезков AP и BT:
AP: PB = 1:6
BT : TC = 4:1
Так как AP:PB = 1:6, значит AP длиннее PB в 6 раз. Значит BT длиннее TC в 6 раз.
Пусть длина TC равна t. Тогда длина BT будет равна 6t.
Длина AT равна AP + PT, поэтому:
AT = AP + PT
= 1 * (AP + PB) + PT
= AP + 6 * PB + PT
= AP + 6 * (PB + BT) + PT
= AP + 6 * (PB + 6 * TC) + PT
= AP + 6 * (1 * (AP + PB) + BT) + PT
= AP + 6 * (AP + 6 * (AP + PB)) + PT
= 8 * AP + 6 * 6 * (AP + PB) + PT
= 8 * AP + 36 * AP + 36 * PB + PT
Заменяем значения:
AP = 1/7 * AB (AB найден в предыдущем вопросе)
PB = 6/7 * AB
AT = 8 * (1/7 * AB) + 36 * (1/7 * AB) + 36 * (6/7 * AB) + PT
Упрощая выражение, получаем:
AT = (8/7 + 36/7 + 216/7) * AB + PT
= 260/7 * AB + PT
Теперь найдем вектор PM. Он имеет начало в точке P и конец в точке M (середина отрезка AB). Его координаты можно найти, вычтя из координат точки M координаты точки P:
PM = (xM - xP; yM - yP)
Координаты точки M равны (xA + xB) / 2 и (yA + yB) / 2, а координаты точки P уже найдены:
xP = (1/7 * xB) (координата x точки P, найденная в предыдущем вопросе)
yP = (1/7 * yB) (координата y точки P, найденная в предыдущем вопросе)
Вставляя значения, получаем:
xP = (1/7 * -3) = -3/7
yP = (1/7 * 6) = 6/7
Теперь подставим эти значения в выражение для вектора PM:
PM = ((xA + xB) / 2 - xP; (yA + yB) / 2 - yP)
= ((-1 + -3) / 2 - (-3/7); (0 + 6) / 2 - (6/7))
= (-4/2 + 6/7; 12/2 - 6/7)
= (-8/4 + 6/7; 24/4 - 6/7)
= (-2 + 6/7; 6 - 6/7)
= (-14/7 + 6/7; 42/7 - 6/7)
= (-8/7; 36/7)
Итак, вектор PM имеет координаты (-8/7; 36/7).
Итак, у нас есть вектора AT и PM. Теперь можем найти косинус угла между ними.
Косинус угла между векторами можно найти, используя скалярное произведение:
cos(α) = (AT * PM) / (|AT| * |PM|)
Где AT и PM - векторы, |AT| и |PM| - их длины.
Найдем сначала длины векторов AT и PM:
|AT| = sqrt((xAT)^2 + (yAT)^2)
|PM| = sqrt((xPM)^2 + (yPM)^2)
Подставим значения координат векторов AT и PM:
|AT| = sqrt((260/7 * xAB)^2 + (260/7 * yAB)^2)
|PM| = sqrt((-8/7)^2 + (36/7)^2)
Упрощаем:
|AT| = sqrt((260/7)^2 * (xAB^2 + yAB^2))
|PM| = sqrt((8/7)^2 + (36/7)^2)
|AT| = (260/7) * sqrt(xAB^2 + yAB^2)
|PM| = (260/7) * sqrt(xAB^2 + yAB^2)
|AT| = |PM| = (260/7) * sqrt(xAB^2 + yAB^2)
Скалярное произведение векторов AT и PM можно найти как произведение соответствующих координат векторов:
AT * PM = xAT * xPM + yAT * yPM
Подставляем значения координат:
AT * PM = (260/7 * xAB * xPM) + (260/7 * yAB * yPM)
= (260/7 * xAB * (-8/7)) + (260/7 * yAB * (36/7))
= (-8/7) * (260/7 * xAB) + (36/7) * (260/7 * yAB)
AT * PM = (-8/7) * (260/7 * xAB + 36/7 * yAB)
Итак, косинус угла между прямыми AT и PM будет равен:
cos(α) = (AT * PM) / (|AT| * |PM|)
= ((-8/7) * (260/7 * xAB + 36/7 * yAB)) / ((260/7) * sqrt(xAB^2 + yAB^2))^2
Упрощаем:
cos(α) = (-8/7) * (260/7) * (260/7 * xAB + 36/7 * yAB) / (260/7)^2 * sqrt(xAB^2 + yAB^2)
= (-8/7) * (260/7 * xAB + 36/7 * yAB) / (AB * sqrt(xAB^2 + yAB^2))
Это и будет окончательным ответом.