У паралелограмі одна сторона більша за другу на 6 см. Знайти сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 40 см.

Теорема  о сумме углов  треугольника  — классическая теорема  евклидовой . утверждает, что сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180°. из теоремы следует, что у любого треугольника не меньше двух острых углов. действительно, применяя  доказательство от противного, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. тогда у этого треугольника есть, по крайней мере, два угла, каждый из которых не меньше 90°. сумма этих углов не меньше 180°. а это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. доказательство пусть  {\displaystyle \delta abc}  — произвольный треугольник. проведём через вершину  bпрямую, параллельную прямой  ac. отметим на ней точку  d  так, чтобы точки  aи  d  лежали по разные стороны от прямой  bc. углы  dbc  и  acb  равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей  bc  с параллельными прямыми  ac  и  bd. поэтому сумма углов треугольника при вершинах  b  и  с  равна углу  abd. сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов  abd  и  bac. так как эти углы внутренние односторонние для параллельных  ac  и  bd  при секущей  ab, то их сумма равна 180°.  что и требовалось доказать.

Поскольку пирамида правильная, то: 1) в основании равносторонний треугольник (АВ = ВС = АС = 3); 2) боковые ребра пирамиды также одинаковы между собой (SA = SB = SC).
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: S = 1/2*p*a (где р = полупериметр основания (равен 9/2), а = апофема).
Рассмотрим треугольник SAB. Он равнобедренный (т.к. ребра пирамиды в данном случае одинаковы). А поскольку М - середина АВ, то отрезок SM - медиана этого треугольника. И по св-ву равнобедренного треугольника является также высотой.
Отсюда следует, что SM - апофема боковой грани SAB.
Ее мы найдем из формулы площади боковой поверхности:
45 = 1/2*9*а
откуда а = 10. Значит, SM = 10.