У правильний трикутник вписано коло,а в це коло - другий правильний трикутник,у другий правильний трикутник - друге коло і т.д. У скільки разів площа четвертого трикутника менша за площу початкового?

Если подойти к вопросу кошерным образом, то можно сначала найти площадь треугольника CDF, и она внезапно окажется 96. (я посчитал на абаке с формулы Герона, а вообще много, выбирай любой).
И тут мы заметим, что площадь S=24 ровно в 4 раза меньше, чем площадь CDF. Если S - площадь NQT (у тебя не сказано, я типа догадываюсь), то соответственно длины всех сторон будут в корень(4) = 2 раза меньше, чем у CDF, а именно: 15, 13 и 4. Выбирай 15 как наибольшую, и получаешь такой ответ. 

Ну, по крайней мере я так думаю, что решил правильно.

ответ: 3:4

Объяснение:

радиус (5х) описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы, т.е. гипотенуза = 10х;

радиус (2х) вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно вычислить по формуле: r = (a+b-c)/2

2x = (a+b-10x)/2

4x = a+b-10x

a+b = 14x

и по т. Пифагора a^2+b^2 = 100x^2

(a+b)^2 - 2ab = 100x^2

196x^2 - 100x^2 = 2ab

ab = 48x^2

(14x-b)*b = 48x^2

b^2 - b*14x + 48x^2 = 0

D=196x^2-4*48x^2=4x^2

b1 = (14x-2x)/2 = 6x ---> a1 = 14x-6x = 8x

b2 = (14x+2x)/2 = 8x ---> a2 = 14x-8x = 6x

т.е. меньший катет (6х),

больший катет (8х),

отношение 6:8 или 3:4