У прямокутній трапеції ABCD (ABIAD) основа ВС вдвічі менша за AD, а
діагональ АС = 2 см. Знайдіть більшу бічну сторону трапец

Основания - правильные треугольники. О₁ - центр верхнего основания (точка пересечения медиан (биссектрис, высот)), О - центр нижнего основания.

Пусть Н - середина В₁С₁, тогда О₁Н - радиус окружности, вписанной в треугольник А₁В₁С₁.

  О₁Н = а√3/6 = 6√3/6 = √3 см

Пусть К - середина ВС, тогда ОК - радиус окружности, вписанной в треугольник АВС:

   ОК = 12√3/6 = 2√3 см.

ОО₁ - высота пирамиды, тогда

ОО₁⊥ВС и АК⊥ВС, т.е. ребро ВС перпендикулярно двум пересекающимся прямым плоскости АКН, значит

ВС⊥(АКН)

Тогда ВС⊥КН, ∠НКА = 30° и НК - апофема пирамиды.

Sбок = (P₁ + P₂) · HK, где P₁ и P₂ - периметры оснований.

Осталось найти НК.

ОО₁НК - прямоугольная трапеция. Проведем в ней высоту НТ.

ОО₁НТ - прямоугольник, ОТ = О₁Н = √3 см

ТК = ОК - ОТ = 2√3 - √3 = √3 см

ΔНТК:    cos 30° = TK / HK

               HK = TK / cos 30° = √3 / (√3/2) = 2 см

Sбок = (P₁ + P₂) · HK = (6 ·3 + 12 · 3) · 2 = (18 + 36) · 2 = 54 · 2 = 108 см²

В основании пирамиды лежит квадрат. Обозначим АВСД. Диагонали пересекаются в точке О. Вершину пирамиды обозначим S Рассмотрим треугольник АSО. Он прямоугольный, по теореме Пифагора определим катет ОА² = 100-64=36, ОА=6. 
Определим сторону основания пирамиды.
АВ²=36+36= 72,
АВ=√72=6√2.
Площадь основания равна S= АВ²=72,
Объем пирамиды вычислим по формуле:
V=(S · h) / 3 = 72·8/3=24·8=192 (куб. ед.)
Все боковые грани пирамиды  равнобедренные треугольники равные между собой.
Рассмотрим одну из боковых граней: АSВ. Построим высоты SК
АК= 3√2.
Определим длину SК по теореме  Пифагора.
SК²=10²-(3√2)²=100-18=82,
SК=√82.
Определим площадь грани АSВ.
S =0,5·АВ · SК = 0,5·6√2·√82=3√164.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна
4·3√164=12√164.
Полная площадь поверхности пирамиды равна 
12√164+72≈12·13+72=228(кв. ед.)
ответ: 192 куб. ед., 228 кв. ед.