у прямоугольного треугольника заданы катеты aи b.найдите гипотенузу c, если а)a=3, b=4; б) a=5, b=12;в)a=8, b=15. с дано, найти и решение

Основное тригонометрическое тождество:

sinα^2 +cosα^2 =1

Следовательно

sinα =+-√(1-cosα^2)

Синус угла от 0 до 180 - положительный

sinα =√(1 -9/10) =√(1/10)

tgα =sinα/cosα =1/√10 : 3/√10 =1/3

Или (то же самое)

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе (c).

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета (a) к прилежащему (b).

cosα=3/√10 =b/c

Пусть b=3, c=√10

По теореме Пифагора

a^2 +b^2 =c^2 => a =√(c^2 -b^2) =√(10-9) =1

tgα =a/b =1/3

Прикладываю рисунок* 
Так как угол ADC=45 градусам по условию, то угол BCD=180-45=135 по свойству. Рассмотрим треугольник CHD. В нем угол CHD равен 90 градусов, так как CH-высота. Угол ADC равен 45 градусам по условию, а угол CHD=180-90-45=45 градусам. Соответственно, этот треугольник равнобедренный - HD=CH. 
Рассмотрим фигуру ABCH. В ней углы ABC и HAB равны 90 градусов, так как трапеция прямоугольная. Угол AHC=90 градусов, так как CH-высота трапеции. Угол BCH=135-45=90 градусов. Следовательно ABCH - прямоугольник. По условию задачи BC=27 см, значит и AH=BC=27 см, так как это прямоугольник. Из этого можно найти HD. AD равно 33 см по условию, AH=27, поэтому HD=33-27=6 см. Так как треугольник CHD - равнобедренный, в нем HD=CH=6 см. Высота найдена, можно искать площадь трапеции. 
Sтрапеции=27+33/2 * 6 = 180 см^2 
ответ:180 см^2