У рівнобедерному трикутнику АСВ з основою АВ проведено висоту ВМ, а кут АВМ=34°. Знайдіть кут С

1) В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне (центральный угол опирающийся на сторону равен 360/6 = 60 гр). Высота правильного треугольника (она же радиус вписанной окр-ти):

h = Rкор3 /2 = r = кор3

Отсюда R = 2 = a.

S(A1A2A3) = (1/2) A1A2*A2A3*sin120 = (1/2)R^2 *(кор3)/2 = кор3

Тогда S*кор3 = 3

ответ: 3.

2) В треугольнике А1ОА4 угол А1ОА4 = 3*(360/8) = 3*45 = 135 гр.

S(A1OA4) = (1/2) R^2 *sin135 = R^2*кор2 /4 = 16кор2

Отсюда  R^2 = 64,   R = 8

Тр. А2ОА4 - прямоугольный, так как угол А2ОА4 = 2*(360/8) = 90 гр.

Катеты равны R=8.

S(A2OA4) = R^2 /2 = 64/2 = 32.

ответ: 32.

АВС,   из условия имеем АВ = с, ВС = с/2, АС = 3с/4.

Найдем cos C:

cosC = (a^2+b^2-c^2) / (2ab) = (9/16  +  1/4  -  1)/(2*3/8) = - 1/4

(угол С - тупой).  Тогда sin C = кор(1-cos^2 C) = (кор15)/4

По теореме синусов найдем sin A:

sin A = (a/c)sin C = (кор15)/8

 По свойству биссектрисы вн. угла тр-ка (СО - биссектриса):

АО/ОВ = АС/СВ = 2/3

АО+ОВ = с                           Тогда:  АО = 3с/5,  ОВ = 2с/5

Проведем ОМ перп АС,  ОМ - искомый радиус полукруга.

Из пр.тр. АОМ:

r = AO*sin A = (3c/5)*(кор15)/8 = (3с*кор15)/40.

ответ: r = (3с*кор15)/40.