1) (рис 1) Формулы деления отрезка в данном отношении ∧ (∧-лямда ∧=АМ/МВ=1/2) х(м)=(х(а)+∧х(в))/(∧+1) х(м)=(-2+1/2*4)/1+1/2=(-2+2)/(3/2)=0 у(м)=(у(а)+∧у(в))/(∧+1) у(м)=(5+1/2*(-3))/1+1/2=(5-3/2)/(3/2)=7/2*2/3=7/3 М(0;7/3) 2) Если точка М принадлежит прямой АВ, то возможны 2 варианта: первый рассмотрен под цифрой 1), а второй т.А будет серединой отрезка МВ, тогда х(м) и у(м) можно найти из формул середины отрезка х(а)=х(м)+х(в)/2 -2=(х(м)+4)/2 х(м)=(-2*2)-4=-8 у(а)=у(м)+у(в)/2 5=(у(м)-3)/2 у(м)=5*2+3=13 М(-8;13) 3)(х(м)-х(а))²+(у(м)-у(а))²=100 и (х(м)-х(в))²+(у(м)-у(в))²=100 для удобства заменим х(м) на х, а у(м) на у, получим уравнения (х+2)²+(у-5)²=100 х²+4х+4+у²-10у+25=100 (х-4)²+(у+3)²=100 х²-8х+14+у²+6у+9=100 вычтем уравнения 12х-16у+16=0 3х-4у=-4 у=3/4х+1 подставим в первое уравнение (х+2)²+(3/4х-4)²=100 х²+4х+4+9/16х²-6х+16=100 25/16х²-2х-80=0 Д1=1+25/16*80=1+25*5=126=3√14 х1=(1+3√14)/(25/16)=16(1+3√14)/25 и х2=16(1-3√14)/25 у1=3/4*16*(1+3√14)/25+1=12(1+3√14)/25+1=(37+36√14)/25 у2=3/4*16*(1-3√14)/25+1=(37-36√14)/25
Рассмотрим прямоугольный △ABC:
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠А = 90° - 45° = 45°.
Т.к. ∠А = ∠В = 45°, то △ABC - равнобедренный.
Т.к. CD Ʇ AB ⇒ CD - высота, проведённая к основанию равнобедренного тр-ка.
Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является и медианой, и высотой.
⇒ высота CD - медиана равнобедренного △ABC.
Медиана, проведённая из прямого угла прямоугольного треугольника к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
⇒ медиана CD в 2 раза меньше AB, т.е. AB = 14 (см).
ответ: АВ = 14 (см).Задача #2.Рассмотрим прямоугольный △PKF:
∠1 + ∠KPC = 180˚, т.к. они смежные ⇒ ∠KPC = 180˚ - 150˚ = 30˚.
Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
⇒ катет KE в 2 раза меньше РЕ, т.е. РЕ = 20 (см).
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠PKC = 90˚ - 30˚ = 60˚.
Т.к. ∠PKC = 60˚, а ∠PKE = 90˚ ⇒ ∠CKE = 90˚ - 60˚ = 30˚.
Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
⇒ катет CE в 2 раза меньше KE, т.е. CE = 5 (см).
Т.к. PE = 20 (см), а СЕ = 5 (см), то СР = 20 - 5 = 15 (см).
ответ: CE = 5 (см); CP = 15 (см).Задача #3.Пусть отрезок, делящий △ABC на два других будет называться BD.
1. Рассмотрим прямоугольный △DBC:
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠DBC = 90˚ - 65˚ = 25˚.
2. Рассмотрим прямоугольный △ABC:
Т.к. на рисунке ∠ABD = ∠DBC, то BD - биссектриса ∠ABC ⇒ ∠ABC = 50˚.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
⇒ ∠CAB = 90˚ - 50˚ = 30˚.
ответ: ∠CAB = 30˚.х(м)=(х(а)+∧х(в))/(∧+1) х(м)=(-2+1/2*4)/1+1/2=(-2+2)/(3/2)=0
у(м)=(у(а)+∧у(в))/(∧+1) у(м)=(5+1/2*(-3))/1+1/2=(5-3/2)/(3/2)=7/2*2/3=7/3
М(0;7/3)
2) Если точка М принадлежит прямой АВ, то возможны 2 варианта: первый рассмотрен под цифрой 1), а второй т.А будет серединой отрезка МВ, тогда х(м) и у(м) можно найти из формул середины отрезка
х(а)=х(м)+х(в)/2 -2=(х(м)+4)/2 х(м)=(-2*2)-4=-8
у(а)=у(м)+у(в)/2 5=(у(м)-3)/2 у(м)=5*2+3=13
М(-8;13)
3)(х(м)-х(а))²+(у(м)-у(а))²=100 и (х(м)-х(в))²+(у(м)-у(в))²=100
для удобства заменим х(м) на х, а у(м) на у, получим уравнения
(х+2)²+(у-5)²=100 х²+4х+4+у²-10у+25=100
(х-4)²+(у+3)²=100 х²-8х+14+у²+6у+9=100
вычтем уравнения 12х-16у+16=0 3х-4у=-4 у=3/4х+1
подставим в первое уравнение (х+2)²+(3/4х-4)²=100
х²+4х+4+9/16х²-6х+16=100
25/16х²-2х-80=0
Д1=1+25/16*80=1+25*5=126=3√14
х1=(1+3√14)/(25/16)=16(1+3√14)/25 и х2=16(1-3√14)/25
у1=3/4*16*(1+3√14)/25+1=12(1+3√14)/25+1=(37+36√14)/25
у2=3/4*16*(1-3√14)/25+1=(37-36√14)/25
(16(1+3√14)/25;(37+36√14)/25) (16(1-3√14)/25;(37-36√14)/25)
4) (х-х(а))²+(у-у(а))²+(х-х(в))²+(у-у(в))²=50
(х+2)²+(у-5)²+(х-4)²+(у+3)²=50
х²+4х+4+у²-10у+25+х²-8х+16+у²+6у+9=50
2х²-4х+2у²-4у+54=50
х²-2х+1+у²-2у+1+25=25
(х-1)²+(у-1)²=0
точка М(1;1)