У трикутник вписано прямокутник так, що дві його вершини лежать на бічних сторонах, а дві – на основі. Діагоналі прямокутника паралельні бічним сторонам. В якому відношенні вершини прямокутника ділять бічні сторони?

Пусть АВС - равнобедренный треугольник и АВ=ВС.
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Значит АВ=ВС=20 см (8+12). Биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (свойство биссектрисы).
Тогда АС/АВ=12/8, отсюда АС=20*12/8=30 см.
Зная три стороны, по формулам радиуса вписанной окружности найдем этот радиус.
1. Радиус равен:  r=√[(p-a)(p-b)(p-c)/p], где a,b,c - стороны треугольника, р - полупериметр.  В нашем случае р=(20+20+30)/2=35см
r=√(15*15*5/35) =15/√7 или 15√7/7 см.
2. Для равнобедренного треугольника
r=(b/2)*√[(2a-b)/(2a+b)], где а - боковая сторона, b - основание.
Тогда 
r=15√(10/70)=15/√7=15√7/7 см.
ответ: r=15√7/7 см.

Пусть m - прямая, проходящая через точку А, и k - прямая, проходящая через точку В.

Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

По условию k║m, значит эти прямые лежат в одной плоскости α.

А∈m, m∈α,  ⇒ A∈α

B∈k, k∈α,   ⇒ B∈α.

Пусть М - точка пересечения прямых m и а, К - точка пересечения прямых k и а.

Тогда точки К и М также лежат в плоскости α.

По аксиоме: если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости,

значит а∈α.

Итак, точки А, В и прямая а лежат в одной плоскости.