У трикутника CDF F=90° DF =9 см CD= 15 см через вершину C провели відрізок CD перпендикулярний площині (CDF) Відрізок CN нахилений до площини CDF під кутом 60° Знайти відстань від точки N до прямої DF.

В одной окружности если дуги равны, то стягивающие их хорды равны, значит ВС=АВ.
По теореме косинусов квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.  Следовательно,
ВС²=МС²+ВМ²-2*МС*ВМ*Cosα  (1)
АВ²=МВ²+МА²-2*МВ*МА*Cosα  (2).
Но ВС=АВ. Приравняем оба уравнения и, подставив известные значения,  получим:
17-8*Cosα = 52-48*Cosα, отсюда Cosα=7/8.
Подставив это значение в (1), получим АВ=ВС=√10см.
Соединим центр окружности О с концами В и С хорд МВ и МС.
Угол ВОС - центральный и равен двойной градусной мере угла ВМС, то есть <BOC=2α.
Если Cosα=7/8, то Sinα = √(1-49/64) =√15/8.
Мы знаем, что длина хорды равна L=2*R*Sin(α/2), где α - центральный угол. Но  в нашем случае этот угол равен 2α . Значит у нас  L=2*R*Sinα. ОтсюдаR=L/(2*Sinα) , подставив значения, имеем: R=(√10*8)/(2√15) = 4√2/√3 = 4√6/3.
ответ: радиус окружности R=4√6/3.

Доказательство:

Смотри прикреплённый рисунок.

АВ - диаметр окружности с центром в точке О.

СK = DK - половинки хорды CD.

К - точка пересечения АВ и CD

Соединим концы хорды С и D с центром  окружности О.

ΔСОК = Δ DOK по 3-му признаку (СK = DK по условию, ОС = ОD - радиусы окружности, ОК - общая сторона)

Следовательно, ∠СКО = ∠DKO.

Эти углы в сумме составляют развёрнутый ∠СКD = 180°

Следовательно, ∠СКО = ∠DKO = 0,5 ∠СКD = 0,5 · 180° = 90°.

Доказано, что ОК ⊥ CD.

Так как  ОК является частью диаметра АВ, то АВ ⊥ CD, что и требовалось доказать.