В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.
Для трапеции АВСD, в которую вписана окружность, BC+AD=AB+CD=60+16+36=112 см.
Стороны трапеции - касательные к вписанной окружности. Обозначим точки касания на ВС– Е, на СD - К, на AD-М. По свойству равенства отрезков касательных, проведенных из одной точки, СЕ=СК=16, DK=DM=36.
Соединим точки касания на основаниях отрезком ЕМ. Опустим высоту СН. МН=ЕС=16
DH=DM-CE=36-16=20.
По т.Пифагора СН=√(CD²-DH²)=√(52²-20²)=48 (см)
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Властивість 1. Висота прямокутного трикутника рівна проекції катетів на гіпотенузу. Мовою формул, твердження еквівалентне запису СD*СD = АD ∙ DВ
Властивість 2. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузі і проекції цього катета на гіпотенузу AC*AC=AB*AD; BC*BC=AB*BD. Добре розберіться, за що відповідають формули –наведені далі задачі будуть для Вас більш зрозумілі.
Задача 1. Висота прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на два відрізки 4 см і 9 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до гіпотенузи та його площу.
Розв'язання: Виконаємо побудову трикутника за даними
За 1 властивістю висота рівна
Гіпотенузу знаходимо через суму відрізків AB=AD+BD=4+9=13 (см). Площа трикутника рівна половині добутку основи на висоту. Виконуємо обчислення
Відповідь: Площа рівна 39 сантиметрів квадратних.
Задача 2. Площа прямокутного трикутника рівна 6 метрів квадратних. Знайти проекції катетів на гіпотенузу, якщо відомо, що один катет рівний 4 м.
Через відому площу обчислимо другий катет трикутника
За теоремою Піфагора знаходимо гіпотенузу
Через пропорційні відрізки знаходимо проекції
В такий самий б знаходимо проекцію другого катета
Легко переконатися, що сума проекцій рівна гіпотенузі трикутника
Відповідь: проекції катетів рівні 9/5 см та 16/5 см.
Задача 3. Один катет прямокутного трикутника рівний 8 см, а проекція другого катета на гіпотенузу – 3,6 см. Знайдіть другий катет та гіпотенузу трикутника.
Розв'язання: Зобразимо трикутник із вхідними даними.
Позначимо AD=x. Згідно другої властивості маємо
Розкриваємо дужки
Квадратне рівняння обчислюємо через дискримінант
Корені рівняння рівні
Корінь x=-10 не відповідає фізичній суті задачі. Знаючи другу проекцію AD=6,4 см гіпотенузу знаходимо через суму проекцій AB=3,6+6,4=10 (см.) За теоремою Піфагора обчислюємо другий катет
Відповідь: катетів рівний 6 см, гіпотенуза – 10 см.
Подібних задач на висоту, гіпотенузу, бісектрису трикутника в ін
ответ: 2688 см²
Объяснение:
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.
Для трапеции АВСD, в которую вписана окружность, BC+AD=AB+CD=60+16+36=112 см.
Стороны трапеции - касательные к вписанной окружности. Обозначим точки касания на ВС– Е, на СD - К, на AD-М. По свойству равенства отрезков касательных, проведенных из одной точки, СЕ=СК=16, DK=DM=36.
Соединим точки касания на основаниях отрезком ЕМ. Опустим высоту СН. МН=ЕС=16
DH=DM-CE=36-16=20.
По т.Пифагора СН=√(CD²-DH²)=√(52²-20²)=48 (см)
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
S(ABCD)=0,5(BC+AD)•CH=0,5•112•48=2688 см².
Властивість 1. Висота прямокутного трикутника рівна проекції катетів на гіпотенузу. Мовою формул, твердження еквівалентне запису
СD*СD = АD ∙ DВ
Властивість 2. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузі і проекції цього катета на гіпотенузу
AC*AC=AB*AD;
BC*BC=AB*BD.
Добре розберіться, за що відповідають формули –наведені далі задачі будуть для Вас більш зрозумілі.
Задача 1. Висота прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на два відрізки 4 см і 9 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до гіпотенузи та його площу.
Розв'язання: Виконаємо побудову трикутника за даними
За 1 властивістю висота рівна
Гіпотенузу знаходимо через суму відрізків
AB=AD+BD=4+9=13 (см).
Площа трикутника рівна половині добутку основи на висоту. Виконуємо обчислення
Відповідь: Площа рівна 39 сантиметрів квадратних.
Задача 2. Площа прямокутного трикутника рівна 6 метрів квадратних. Знайти проекції катетів на гіпотенузу, якщо відомо, що один катет рівний 4 м.
Розв'язання: Виконаємо допоміжну побудову трикутника
Через відому площу обчислимо другий катет трикутника
За теоремою Піфагора знаходимо гіпотенузу
Через пропорційні відрізки знаходимо проекції
В такий самий б знаходимо проекцію другого катета
Легко переконатися, що сума проекцій рівна гіпотенузі трикутника
Відповідь: проекції катетів рівні 9/5 см та 16/5 см.
Задача 3. Один катет прямокутного трикутника рівний 8 см, а проекція другого катета на гіпотенузу – 3,6 см. Знайдіть другий катет та гіпотенузу трикутника.
Розв'язання: Зобразимо трикутник із вхідними даними.
Позначимо AD=x. Згідно другої властивості маємо
Подібних задач на висоту, гіпотенузу, бісектрису трикутника в інРозкриваємо дужки
Квадратне рівняння обчислюємо через дискримінант
Корені рівняння рівні
Корінь x=-10 не відповідає фізичній суті задачі.
Знаючи другу проекцію AD=6,4 см гіпотенузу знаходимо через суму проекцій
AB=3,6+6,4=10 (см.)
За теоремою Піфагора обчислюємо другий катет
Відповідь: катетів рівний 6 см, гіпотенуза – 10 см.