У трикутниках ABC і A1B1C1 AC = A1C1 і BC = B1C1. Яку рівність необхідно додати до умови, щоб рівність даних трикутників можна було довести за третьою ознакою? 2. Три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам другого трикутника. Чи є рівними кути між відповідно рівними сторонами цих трикутників? Чому?
3. Чи правильно, що два рівносторонні трикутники рівні, якщо вони мають однакові периметри?
4. Чи правильно, що два довільні трикутники рівні, якщо вони мають однакові периметри? Чи справджується обернене твердження?
Виконання письмових вправ
Рівень А
На рисунку 1 AB = CD, BC = AD. Доведіть рівність трикутників ABD і CDB
2. На рисунку 2 ΔABC =ΔCDA. Доведіть, що ΔABD = ΔCDB
Рівень В
На рисунку 3 AB = CD, AC = BD. Доведіть рівність трикутників ABD і DCA
Обоснование: Третий признак равенства треугольников гласит, что если две стороны и вложенный угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и вложенному углу другого треугольника, то эти треугольники равны.
По условию задачи, AC = A1C1 и BC = B1C1, что соответствует двум сторонам треугольников. Теперь, чтобы узнать о вложенном угле, нам нужно пронаблюдать за данными треугольниками на чертеже или представить их в уме. Если мы посмотрим на эти треугольники, заметим, что угол ABC и угол A1B1C1 находятся на противоположных сторонах треугольников и между ними есть прямая. Это означает, что эти углы должны быть равными, чтобы гарантировать равенство треугольников ABC и A1B1C1 по третьей признаку. Поэтому условию задачи следует добавить равенство углов ABC и A1B1C1.
2. Нет, углы между соответственно равными сторонами треугольников не обязательно будут равными.
Обоснование: Одним из признаков равенства треугольников является признак равенства треугольников по третьей стороне и двум углам. Это значит, что если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого треугольника, а между этими сторонами есть общий угол, то углы, которые находятся между соответственно равными сторонами, также равны. Однако, в условии задачи нет информации о совпадающих углах между равными сторонами треугольников, поэтому мы не можем сделать вывод о равенстве этих углов.
3. Да, два равносторонних треугольника будут равными, если они имеют одинаковые периметры.
Обоснование: Равносторонний треугольник имеет все стороны одинаковой длины. Если два равносторонних треугольника имеют одинаковые периметры, это означает, что сумма длин всех сторон одного треугольника равна сумме длин всех сторон другого треугольника. Учитывая, что все стороны равностороннего треугольника равны, получаем, что все стороны другого равностороннего треугольника также равны. Следовательно, треугольники равны.
4. Нет, два произвольных треугольника не обязательно будут равными, даже если они имеют одинаковые периметры. Обратное утверждение также не справедливо.
Обоснование: Предположим, что у нас есть два треугольника со сторонами одинаковой длины, но с разными углами. Например, один треугольник может быть равнобедренным и иметь углы 45°, 45° и 90°, а другой треугольник может быть разносторонним и иметь углы 30°, 60° и 90°. В этом случае оба треугольника имеют одинаковые периметры (сумма длин всех сторон равна), но они не равны, так как имеют разные углы и размеры сторон. Следовательно, два треугольника могут иметь одинаковые периметры, но быть неравными. Обратное утверждение также не верно, поскольку равенство периметров треугольников не гарантирует их равенства.
По рисунку 1:
Для доказательства равенства треугольников ABD и CDB нужно проверить соответствующие равенства сторон и углов.
Условие задачи говорит, что AB = CD и BC = AD. Это означает, что две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого треугольника.
Теперь нужно проверить, равны ли углы между этими сторонами.
У нас нет информации о равенстве углов, но мы можем использовать свойство треугольника, согласно которому сумма углов треугольника равна 180 градусам, чтобы найти третий угол каждого треугольника.
Допустим, в треугольнике ABD угол CBA равен x градусам, то в треугольнике CDB угол ADB равен x градусам, так как они соответствующие углы.
Таким образом, углы CBA и ADB равны, что означает, что третий угол каждого треугольника также равен.
Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по двум сторонам и одному углу (1А метод равенства треугольников).
По рисунку 2:
Для доказательства равенства треугольников ABD и CDB нужно проверить соответствующие равенства сторон и углов.
Условие задачи говорит, что ABC = CDA. Это значит, что один угол одного треугольника равен одному углу другого треугольника.
Также, на чертеже видно, что AB = CD и AC = BD, что соответствует двум сторонам треугольников.
Теперь нужно проверить равенство третьего угла каждого треугольника.
Допустим, в треугольнике ABD угол BDA равен x градусам, то в треугольнике CDB угол BDC равен x градусам, так как они соответствующие углы.
Таким образом, углы BDA и BDC равны, что означает, что третий угол каждого треугольника также равен.
Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по одному углу и двум сторонам (2А метод равенства треугольников).
По рисунку 3:
Для доказательства равенства треугольников ABD и DCA нужно проверить соответствующие равенства сторон и углов.
Условие задачи говорит, что AB = CD и AC = BD. Это означает, что две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого треугольника.
Теперь нужно проверить равенство третьего угла каждого треугольника.
У нас нет информации о равенстве углов, но мы можем использовать свойство треугольника, согласно которому сумма углов треугольника равна 180 градусам, чтобы найти третий угол каждого треугольника.
Допустим, в треугольнике ABD угол BDA равен x градусам, то в треугольнике DCA угол CAD равен x градусам, так как они соответствующие углы.
Таким образом, углы BDA и CAD равны, что означает, что третий угол каждого треугольника также равен.
Следовательно, треугольники ABD и DCA равны по двум сторонам и одному углу (1А метод равенства треугольников).