У трикутниках ABC і A1B1C1, кут А = кут A1, C = C1, AC = A1C1 = 6 см, BC = 2 см, A1B1 = 7 см. Доведіть рівність трикутників ABC і A1B1C1 та знайдіть периметр трикутника ABC.

Диагонали ромба делятся пополам в точке пересечения. Значит, диагонали разбивают ромб на 4 равных треугольника (треугольники равны по трём сторонам). Легко видеть, что треугольники являются прямоугольными с катетами 6/2=3 и 8/2=4. Площадь ромба равна площади одного такого треугольника, умноженной на 4 и равна (3*4/2)*4=6*4=24.
Периметр ромба равен длине его стороны, умноженной на 4 (число сторон). Каждая сторона нашего ромба - это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4. По теореме Пифагора получаем, что она равна . Значит, периметр ромба равен 5*4=20.

Опустим перпендикуляры OX OV OC1.
Углы  XBO=OBС1  тк   углы X=C1=90.  ТО и углы XOB=BOC1 (в соображениях  суммы углов треугольника)
ТО треугольники   XOB и BOC1  равны   по  стороне и  2 прилежащим углам. То  OX=OC1. Ну  и в  силу симметрии  рассуждений по той же причине  равны треугольники  OC1C и  OCV .  OC1=OV
Но  тогда выходит  что: OX=OV.
Откуда прямоугольные  треугольники  XOA и VOA равны  по катету и общей гипотенузе  AO. 
То  углы: XAO=VAO. ТО есть  AO-биссектриса угла A.  Другими  словами биссектриса  угла A проходит через точку пересечения  биссектрис  других внешних углов.
ЧТД