У трикутниках АВС і МКР кут С дорівнює куту Р, а сторони трикутника АВС, які утворюють кут С, у 1,5 раза більші за сторони, які утворюють кут Р. Знайдіть сторони АВ і МК , якщо їх різниця дорівнює 3см
Я вас должен огорчить. Я могу легко (вру - не легко:)) построить много треугольников по заданной биссектрисе и положению на ней точки пересечения биссектрис. Делается это так.
Пусть р = 2/3; M = 10
Продолжим биссектрису за основание. Центр окружности радиуса M*р/(1-р^2) лежит на этой прямой на расстоянии М/(1-р^2) от ВЕРШИНЫ треугольника.
Вы можете легко проверить, что окружность пройдет через точку пересечения биссектрис, лежащую от вершины на расстоянии М/(1+р). Кроме того, для любой точки этой окружности расстояния до концов биссектрисы относятся, как p (я тут в одной задачке уже показывал это, попробуйте сами доказать).
Так вот, теперь из ВЕРШИНЫ биссектрисы проводится ПРОИЗВОЛЬНАЯ секущая к этой окружности, А ТАКЖЕ - СИММЕТРИЧНАЯ ЕЙ относительно биссектрисы. Первая точка пересечения секущей соединяется прямой со ВТОРОЙ точкой пересечения симметричной секущей. Полученная прямая ОБЯЗАТЕЛЬНО пройдет через конец биссектрисы (тоже докажите!). Таким образом, у нас получился треугольник, удовлетворяющий условию задачи, и угол при вершине у него произвольный в диапазоне от нуля до максимального угла, который определяется из условия, что секущая становится касательной. Соответственно, длина основания может варьироваться от расстояния между точками касания 2 касательных (посчитайте сами, это 2*M*p/корень(1-р^2) = 8*корень(5)) до диаметра окружности (24).
Если что-то непонятно, еще раз - условию соответствует ЛЮБОЙ треугольник, построенный (по заданой биссектрисе и положению на ней точки пересечения биссектрисс который я предложил. Достаточно на построенной окружности выбрать произвольную точку, и соединить её с концом биссектрисы, принятым за вершину, провести симметричную относительно биссектрисы линию и соединить НАКРЕСТ точки пересечения - получится треугольник, удовлетворяющий условию.
Глвная тонкость в том, что такие перекрестные соединения ВСЕ пересекаются в одной точке - втором конце биссектрисы.
В понедельник пришлю чертеж.
Чтобы понять, что решение НЕ единственно, достаточно сразу сделать предположение, что треугольник равнобедренный. Тогда решение элементарно. А теперь пусть угол при вершине равен нулю (ну, почти). Опять таки решение получается элементарно из пропорциональности отрезков на прямой. И это будут разные решения.
Можно использовать теорему косинусов и получить связь между углом при вершине Ф и длинной основания
с = cos(Ф/2)*2*М*р/(1-р^2) = cos(Ф/2)*24. При Ф = 0 как раз получится 24, но ничто не мешает взять Ф, не равное 0. Условие этому не препятствует.
к сожалению ,у меня сканер недоступен :((( придется объснить словами.
Пусть длины отрезков, на которые делятся хорды - a и b. (a = 0,7; b = 1,7)
Через конец одной из хорд проводим прямую, параллельную второй хорде ( и перпендикулярную этой, само собой). Это будет секущая, пусть между ней и параллельной ей хордой расстояние a. Теперь наша задача - найти длинну хорды этой секущей. Тогда и диаметр сразу найдется.
Концы отрезков длинны b, лежащие на окружности, соединяем прямой и продолжаем до пересячения с секущей, построенной в предыдущем пункте. Если точку пере5сячения обозначить за М, то из М выходит 2 секущих под углом 45 градусов (надо объяснять почему 45? там равнобедренные прямоугольные треугольники) - дальше, обозначим кусок секущей от М до окружности за х. Дальше просто - формула для частей секущих, а потом - теорем Пифагора :)))
x*(a + b) = а*корень(2)*(a + b)*корень(2) = 2*a*(a + b); x = 2*a;
поэтому длинна хорды секущей равна (а+b) - 2*a = а - b;
D^2 = (a + b)^2 + (a - b)^2 = 2*(a^2 + b^2); D = 2,6
Очень любопытный ответ. Диаметр в корень(2) раз больше, чем боковая сторона трапеции, которая получится, если соединить последовательно вершины хорд, заданных в условии :) Да, я посмотрел, это можно было бы использовать в решении, и ответ получить сразу.
Я вас должен огорчить. Я могу легко (вру - не легко:)) построить много треугольников по заданной биссектрисе и положению на ней точки пересечения биссектрис. Делается это так.
Пусть р = 2/3; M = 10
Продолжим биссектрису за основание. Центр окружности радиуса M*р/(1-р^2) лежит на этой прямой на расстоянии М/(1-р^2) от ВЕРШИНЫ треугольника.
Вы можете легко проверить, что окружность пройдет через точку пересечения биссектрис, лежащую от вершины на расстоянии М/(1+р). Кроме того, для любой точки этой окружности расстояния до концов биссектрисы относятся, как p (я тут в одной задачке уже показывал это, попробуйте сами доказать).
Так вот, теперь из ВЕРШИНЫ биссектрисы проводится ПРОИЗВОЛЬНАЯ секущая к этой окружности, А ТАКЖЕ - СИММЕТРИЧНАЯ ЕЙ относительно биссектрисы. Первая точка пересечения секущей соединяется прямой со ВТОРОЙ точкой пересечения симметричной секущей. Полученная прямая ОБЯЗАТЕЛЬНО пройдет через конец биссектрисы (тоже докажите!). Таким образом, у нас получился треугольник, удовлетворяющий условию задачи, и угол при вершине у него произвольный в диапазоне от нуля до максимального угла, который определяется из условия, что секущая становится касательной. Соответственно, длина основания может варьироваться от расстояния между точками касания 2 касательных (посчитайте сами, это 2*M*p/корень(1-р^2) = 8*корень(5)) до диаметра окружности (24).
Если что-то непонятно, еще раз - условию соответствует ЛЮБОЙ треугольник, построенный (по заданой биссектрисе и положению на ней точки пересечения биссектрисс который я предложил. Достаточно на построенной окружности выбрать произвольную точку, и соединить её с концом биссектрисы, принятым за вершину, провести симметричную относительно биссектрисы линию и соединить НАКРЕСТ точки пересечения - получится треугольник, удовлетворяющий условию.
Глвная тонкость в том, что такие перекрестные соединения ВСЕ пересекаются в одной точке - втором конце биссектрисы.
В понедельник пришлю чертеж.
Чтобы понять, что решение НЕ единственно, достаточно сразу сделать предположение, что треугольник равнобедренный. Тогда решение элементарно. А теперь пусть угол при вершине равен нулю (ну, почти). Опять таки решение получается элементарно из пропорциональности отрезков на прямой. И это будут разные решения.
Можно использовать теорему косинусов и получить связь между углом при вершине Ф и длинной основания
с = cos(Ф/2)*2*М*р/(1-р^2) = cos(Ф/2)*24. При Ф = 0 как раз получится 24, но ничто не мешает взять Ф, не равное 0. Условие этому не препятствует.
к сожалению ,у меня сканер недоступен :((( придется объснить словами.
Пусть длины отрезков, на которые делятся хорды - a и b. (a = 0,7; b = 1,7)
Через конец одной из хорд проводим прямую, параллельную второй хорде ( и перпендикулярную этой, само собой). Это будет секущая, пусть между ней и параллельной ей хордой расстояние a. Теперь наша задача - найти длинну хорды этой секущей. Тогда и диаметр сразу найдется.
Концы отрезков длинны b, лежащие на окружности, соединяем прямой и продолжаем до пересячения с секущей, построенной в предыдущем пункте. Если точку пере5сячения обозначить за М, то из М выходит 2 секущих под углом 45 градусов (надо объяснять почему 45? там равнобедренные прямоугольные треугольники) - дальше, обозначим кусок секущей от М до окружности за х. Дальше просто - формула для частей секущих, а потом - теорем Пифагора :)))
x*(a + b) = а*корень(2)*(a + b)*корень(2) = 2*a*(a + b); x = 2*a;
поэтому длинна хорды секущей равна (а+b) - 2*a = а - b;
D^2 = (a + b)^2 + (a - b)^2 = 2*(a^2 + b^2); D = 2,6
Очень любопытный ответ. Диаметр в корень(2) раз больше, чем боковая сторона трапеции, которая получится, если соединить последовательно вершины хорд, заданных в условии :) Да, я посмотрел, это можно было бы использовать в решении, и ответ получить сразу.
Трудно без чертежа.