У трикутнику ABC кут C =90° , BC = 12 см cos B = 4 / 5 знайдіть невідомі сторони трикутника

Сделаем рисунок и обозначим вершины пирамиды АВСА1В1С1. Ребро ВВ1⊥АВС=1 см

Площадь боковой поверхности этой пирамиды -  сумма площадей трех трапеций: двух прямоугольных и одной равнобедренной - той, что противолежит  ребру ВВ1. 

В основаниях пирамиды правильные треугольники - следовательно,   длины  средней линии всех трапеций равны 0,5•(3+5)=4 см

Площадь прямоугольных граней  равна произведению  их средней линии на  длину высоты пирамиды, т.е.  . 

S (АВВ1А1)=S (ВВ1С1С)= 4•1=4 см²

Чтобы найти  высоту грани АА1С1С,  проведем в основаниях пирамиды высоты  ВН и В1К  и соединим К и Н. 

Плоскость прямоугольной трапеции ВНКВ1 перпендикулярна плоскости оснований, т.к. содержит в себе отрезок ВВ1, перпендикулярный обоим основаниям.  

Из К опустим высоту КТ. 

КН по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярна АС и является высотой трапеции АСС1А1. 

В прямоугольном треугольнике КТН катет КТ=ВВ1=1см, катет НТ равен разности высот оснований пирамиды. 

ВК=(3√3):2

BH=(5√3):2

ТН=2√3):2=√3 см

КН=√(КТ²+НТ²)=√4=2 см

S (АСС1А1)=4*2=8 см²

S(бок)=4+4+8=16 см²

АВСД - трапеция, АД-ВС=14 см, Р=86 см, ∠АВД=∠СВД, АВ=СД.
В трапеции биссектриса отсекает от противоположного основания отрезок, равный боковой стороне, прилежащей к биссектрисе (свойство трапеции, да и параллелограмма тоже). В нашем случае биссектриса - это диагональ, значит АВ=АД.
АВ=АД=СД, ВС=АД-14 ⇒ Р=4·АД-14,
86=4АД-14,
АД=25 см.
ВМ - высота на сторону АД.
В равнобедренной трапеции АМ=(АД-ВС)/2=14/2=7 см.
В тр-ке АВМ ВМ=√(АВ²-АМ²)=√(25²-7²)=24 см.
ВС=АД-14=25-14=11 см.
Площадь трапеции: S=(АВ+ВС)·ВМ/2=(25+11)·24/2=432 см² - это ответ.