У трикутнику АВС відомо, що АВ=7 см, ВС=15 см, АС=11 см. Знайдіть довжину медіани СМ. У відповідь запишіть квадрат отриманого значення у вигляді десяткового дробу

Не трудно убедится, что B1 и C1 являются центрами вневписанных окружностей треугольников AA1Bи AA1C, значит A1B1 и A1C1 биссектрисы смежных углов BA1A и CA1A. Отсюда следует, что ∠B1A1C1=900. По условию две стороны этого прямоугольного треугольника равни 4 и 5, значит этот треугольник не может быть равнобоким треугольником.Отсюда следует что AB≠AC. Обозначим ∠ACB=γ,∠ABC=β. Пусть AC>AB⇒γ<β.Заметим, что 300<β<600⇒150<β2<300⇒ 2−3√<tgβ2<3√3∠AA1B=600+γ,∠AA1C=600+β⇒∠AA1C1=∠BA1C1=300+γ2,∠AA1B1=∠CA1B1=300+β2.∠A1B1A=900−β2,∠A1C1A=900−γ2.Согласно теореме синусов из треугольников A1B1A и A1C1A,получаем A1B1=AA13√2cosβ2,A1C1=AA13√2cosγ2. Ясно, что A1B1>A1C1. Отсюда A1B1cosβ2=A1C1cosγ2⇒A1B1cosβ2=A1C1cos(300−β2)⇒tgβ2=2A1B1−3√A1C1A1C11) Если A1B1=4,A1C1=3, то tgβ2=8−33√3>3√32) Если A1B1=5,A1C1=4, то tgβ2=10−43√4>3√3

Определение: "Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость".

Опустим перпендикуляр С1Н на прямую СD1, лежащую в плоскости А1ВС (это плоскость А1ВСD1, так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости АА1В1В и DD1C1C по параллельным прямым А1В и D1C). Отрезок С1Н перпендикулярен любой прямой, проходящей через точку Н, лежащую в данной плоскости (свойство). Значит <C1HB=90° и искомый угол - это угол С1ВН - угол между наклонной ВС1 м ее проекцией ВН на плоскость А1ВС. В прямоугольном треугольнике С1ВН: синус угла С1ВН - это отношение противолежащего катета С1Н к гипотенузе ВС1.

По Пифагору D1C=√(D1C1²+CC1²) = √(36+64) = 10 ед (так как АВ=D1C1, a AA1=CC1, как боковые ребра параллелепипеда.

Точно так же ВС1=√(ВC²+CC1²) = √(225+64) = 17 ед.

Высота С1Н из прямого угла по ее свойству равна:

С1Н=(С1D1*CC1/D1C = 6*8/10 = 4,8 ед.

Тогда Sinα = C1H/BC1 = 4,8/17 ≈ 0,2823.

α = arcsin0,2823 ≈ 16,4°.