Пусть точки касания вписанных окружностей делят стороны треугольника CBE на отрезки (считая от С) z1 z2 z3, так что EC = z1 + z3; CB = z1 + z2; BE = z2 + z3; аналогично для треугольника EBA AE = z5 + z6; AB = z5 + z4; BE = z6 + z4; Надо найти z4 - z2; (это - расстояния от точки B до точек касания окружностей с BE) По условию z4 + z5 = z1 + z2 + 4; z1 + z3 = z6 + z5; (точка E - середина AC, AE = CE) z2 + z3 = z4 + z6; (=BE) Вычитая из третьего уравнения второе, легко найти z4 - z5 = z2 - z1; Если это сложить с первым, то 2*z4 = 2*z2 + 4; откуда z4 - z2 = 2;
Скажу, что если медиана одна, то она разбивает треугольник на два равновеликих, т.е. два треугольника, у которых равны площади,
а если к ней еще две подключаются, их уже трое действуют по той же схеме и разбивают треугольник не на два равновеликих, а в три раза больше, чем на две, т.е. на шесть равновеликих треугольников.
Скажу что есть не менее красивые задачи, которые с этих свойств и догадок наталкивает на интересные мысли, я вчера решал до утра именно такую задачу.
Еще скажу, что эти факты выводятся оч. легко, если вы дружны с формулой площади треугольника ((а*в)*Sinα)/2, где вместо a подставить медиану, тогда для двух треугольников надo только вспомнить, что Sin(180°-α)=Sinα, скажу, что очень МЕДИАНА нужная в хозяйстве ВЕЩЬ, так и сама ПЛОЩАДЬ треугольника, к которому в гости пришла медиана.)
Надо найти z4 - z2; (это - расстояния от точки B до точек касания окружностей с BE)
По условию
z4 + z5 = z1 + z2 + 4;
z1 + z3 = z6 + z5; (точка E - середина AC, AE = CE)
z2 + z3 = z4 + z6; (=BE)
Вычитая из третьего уравнения второе, легко найти
z4 - z5 = z2 - z1;
Если это сложить с первым, то
2*z4 = 2*z2 + 4;
откуда z4 - z2 = 2;
С какой целью интересуетесь?)
Скажу, что если медиана одна, то она разбивает треугольник на два равновеликих, т.е. два треугольника, у которых равны площади,
а если к ней еще две подключаются, их уже трое действуют по той же схеме и разбивают треугольник не на два равновеликих, а в три раза больше, чем на две, т.е. на шесть равновеликих треугольников.
Скажу что есть не менее красивые задачи, которые с этих свойств и догадок наталкивает на интересные мысли, я вчера решал до утра именно такую задачу.
Еще скажу, что эти факты выводятся оч. легко, если вы дружны с формулой площади треугольника ((а*в)*Sinα)/2, где вместо a подставить медиану, тогда для двух треугольников надo только вспомнить, что Sin(180°-α)=Sinα, скажу, что очень МЕДИАНА нужная в хозяйстве ВЕЩЬ, так и сама ПЛОЩАДЬ треугольника, к которому в гости пришла медиана.)
Удачи.