Углы при одном из оснований трапеции равны 18° и 72°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 4. Найдите основания трапеции. В ответе укажите сумму оснований.
Продлим стороны AB и CD до пересечения в точке K. В треугольнике AKD сумма углов KAD и KDA равна 90°, следовательно, величина \angle AKD=180 в степени circ минус \angle KAD минус \angle KDA=90 в степени circ. Значит, треугольник AKD — прямоугольный. Рассмотрим треугольник AKD, он прямоугольный, следовательно, центр описанной окружности — середина гипотенузы, то есть точка F. Значит, AF=KF=FD=R= дробь, числитель — AD, знаменатель — 2 .
Рассмотрим треугольники AKF и GKO, угол AKF — общий, углы KGO и KAF равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам, коэффициент подобия равен дробь, числитель — OK, знаменатель — KF =k. Аналогично, подобны треугольники FKD и OKH, их коэффициент подобия равен дробь, числитель — OK, знаменатель — KF =k. Покажем, что отрезки GO и OH равны: GO=kAF,OH=kFD=kAF=GO. Рассмотрим треугольник GKH, он прямоугольный, аналогично треугольнику AKF точка O — центр описанной окружности треугольника GKH, откуда GO=KO=OH= дробь, числитель — GH, знаменатель — 2 . Аналогично, в треугольнике BKC — BE=KE=EC= дробь, числитель — BC, знаменатель — 2 .
30
Объяснение:
Продлим стороны AB и CD до пересечения в точке K. В треугольнике AKD сумма углов KAD и KDA равна 90°, следовательно, величина \angle AKD=180 в степени circ минус \angle KAD минус \angle KDA=90 в степени circ. Значит, треугольник AKD — прямоугольный. Рассмотрим треугольник AKD, он прямоугольный, следовательно, центр описанной окружности — середина гипотенузы, то есть точка F. Значит, AF=KF=FD=R= дробь, числитель — AD, знаменатель — 2 .
Рассмотрим треугольники AKF и GKO, угол AKF — общий, углы KGO и KAF равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны по двум углам, коэффициент подобия равен дробь, числитель — OK, знаменатель — KF =k. Аналогично, подобны треугольники FKD и OKH, их коэффициент подобия равен дробь, числитель — OK, знаменатель — KF =k. Покажем, что отрезки GO и OH равны: GO=kAF,OH=kFD=kAF=GO. Рассмотрим треугольник GKH, он прямоугольный, аналогично треугольнику AKF точка O — центр описанной окружности треугольника GKH, откуда GO=KO=OH= дробь, числитель — GH, знаменатель — 2 . Аналогично, в треугольнике BKC — BE=KE=EC= дробь, числитель — BC, знаменатель — 2 .
Получаем: OH=KO=KE плюс EO=EC плюс дробь, числитель — EF, знаменатель — 2 , откуда EC=OH минус дробь, числитель — EF, знаменатель — 2 = дробь, числитель — GH минус EF, знаменатель — 2 . Значит, BC=2EC=GH минус EF=11.
Отрезок GH — средняя линия трапеции, следовательно, GH= дробь, числитель — AD плюс BC, знаменатель — 2 , откуда AD=2GH минус BC=2 умножить на 15 минус 11=GH плюс EF=19.
Основания 11; 19.
Сумма 11+19=30