Т.к. около четырехугольника описана окружность, все углы, вершины которых лежат на ней, -вписанные. Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, равны; равны и хорды, которые стягивают равные дуги.
Угол РМК опирается на дугу РК, и угол КТР опираются на дугу КР, следовательно они равны. Но им равен и угол РТМ , следовательно, равны хорды КР=РМ=16.
Примем АР=х. Тогда ТР=ТА+х=24+х
Рассмотрим ∆ ТКР и АКР. Они имеют по два равных угла, следовательно, подобны. Из их подобия следует отношение ТР:КР=КР:АР ⇒
(24+х):16=16:х
Из пропорции получаем 14х+х²=256 ⇒ х²+24х-256. Решив квадратное уравнение находим х₁=8; х₂=-32 ( не подходит).
ответ: АР=8
Объяснение (подробно):
ТР - биссектриса ⇒ ∠КТР=∠РТМ.
Т.к. около четырехугольника описана окружность, все углы, вершины которых лежат на ней, -вписанные. Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, равны; равны и хорды, которые стягивают равные дуги.
Угол РМК опирается на дугу РК, и угол КТР опираются на дугу КР, следовательно они равны. Но им равен и угол РТМ , следовательно, равны хорды КР=РМ=16.
Примем АР=х. Тогда ТР=ТА+х=24+х
Рассмотрим ∆ ТКР и АКР. Они имеют по два равных угла, следовательно, подобны. Из их подобия следует отношение ТР:КР=КР:АР ⇒
(24+х):16=16:х
Из пропорции получаем 14х+х²=256 ⇒ х²+24х-256. Решив квадратное уравнение находим х₁=8; х₂=-32 ( не подходит).
АР=х=8.
108. АС = 3,6 см; СD = 6 cм; DB = 13.2 см; АВ = 22,8 см;
109. Меньший угол 36°, больший угол 144°
Объяснение:
108.
АС : CD : DB = 3 : 5 : 11
Пусть АС = 3х, тогда CD = 5x и DB = 11x
По условию
DB = CD + 7.2 см
или
11х = 5х + 7,2
6х = 7,2
х = 1,2 (см)
АС = 3 · 1,2 = 3,6 (см)
СD = 5 · 1.2 = 6 (cм)
DB = 11 · 1.2 = 13.2 (см)
АВ = AC + CD + DB = 3.6 + 6 + 13.2 = 22.8 (cм)
109.
Луч делит развёрнутый угол на два угла, отношение которых 1 : 4
Величина развёрнутого угла равна 180°.
Пусть меньший угол равен х, тогда больший угол 4х
Вместе они равны 5х
5х = 180°
х = 36°
4х = 4 · 36° = 144°