Угол АВN и угол NВС - смежные углы, ВМ- биссектриса угла АВN. Найдите угол NВС, если угол МВN= 650.
Постройте угол СВК, вертикальный с углом АВМ, и найдите его градусную меру.
ОЧЕНЬ ОЧЕНЬ ОЧЕНЬ

В окружность можно вписать четырехугольник тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°. 

Следовательно, вписанной может быть только равнобедренная трапеция - сумма ее противоположных углов равна 180°.

Проведем радиус ОВ. По условию АD=2 CB. ⇒

DO=CB=AO.

В четырехугольнике ВОDC стороны  DO и ВС параллельны и равны. ⇒ Четырехугольник BODC - параллелограмм, и DC=BO=DO=R, 

   АО=ОВ=R.  AB=CD=R 

Следовательно, ∆ АОВ - равносторонний, все его углы равны 60°. 

В равнобедренной трапеции углы  при основаниях равны. 

∠D=∠A=60°, ∠С=∠В=180°-60°=120°

1.
Пусть дан треугольник ABC. ∠С - прямой. CH - высота = 12 см

Пусть AH = x, тогда HB = x + 7

√(x(x+7)) = 12
x(x + 7) = 144
x² + 7x - 144 = 0
D = 49 + 4*144 = 625
√D = 25

x₂ не подходит так как длина отрезка не может равняться отрицательному числу.

Рассмотрим ΔAHC
По теореме Пифагора AC = √(AH² + CH²) = √(81 + 144) = 15 см

Рассмотрим ΔCHB
BH = x + 7 = 9 + 7 = 16 см
По теореме Пифагора CB = √(BH² + CH²) = √(256 + 144) = 20 см

AB = AH + HB = 9 + 16 = 25 см

PΔABC = 25 + 20 + 15 = 60 см

ответ: 60 см

2.
Буквы оставим аналогичные, как в задаче 1. AB = 25 см. CH = 12 см.

Пусть AH = x, тогда BH = 25 - x

В ΔACH по теореме Пифагора  AC² = 144 + x²
В ΔABH по теореме Пифагора CB² = 144 + (25 - x)² = 144 + 625 - 50x + x² = x² - 50x + 769

В ΔABC по теореме Пифагора выполняется равенство:
AB² = AC² + CB²
25² = 144 + x² + x² - 50x + 769
625 = 2x² - 50x + 913
2x² - 50x + 288 = 0
x² - 25x + 144 = 0
D = 625 - 4*144 = 49
√D = 7


Рассмотрим x₁:
AC² = 144 + x²
AC² = 400
AC = 20 см

CB² = x² - 50x + 769
CB₂ = 225
CB = 15 см

Рассматривая x₂ получится, что AC = 15 см, а CB = 20 см

ответ: 15 см и 20 см