Угол между плоскостями α и β равен 60 градусов. расстояние от точки а на плоскости α до линии пересечения плоскостей равно 3. найти расстояние от точки а до плоскости β.

Радиус шара 15 см.
Вне шара дана точка А на расстоянии 10 см от его поверхности.
Найти 
длину такой окружности на поверхности шара, все точки которой отстают от А на 20 см Расстояние измеряется перпендикуляром. А находится на отрезке прямой, перпендикулярной диаметру искомой окружности. Точка А от центра шара удалена на 15+10=25 см ( радиус + расстояние)
Все точки искомой окружности находятся на поверхности окружности основания воображаемого  конуса, "надетого" на шар.
Смотрим схематический рисунок - разрез шара через центр и точку А. 
АО=15+10=25 см. 
ОК=R
АК - расстояние, на которое должна быть удалена точка А от поверхности. 
КМ- диаметр искомой окружности,КН - ее радиус. 
 
Имеем треугольник АКО со сторонами, отношение которых 3:4:5 - отношение прямоугольного "египетского" треугольника.
Радиус искомой окружности КН - высота этого треугольика. 
Чтобы найти высоту, применим свойство катета прямоугольного треугольника:
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.
Пусть отрезок гипотенузы, заключенный между катетом и высотой,
ОН =х
Тогда 
ОК ²=х*25
25х=225
х=9
Из треугольника КНО 
КН²=КО²-ОН²= 225-81=144
КН=r=12 см 
Длина окружности с радиусом 12 см
С=2πr= 2π12=24π cм

Решать можно двумя
1) прямоугольник( соответственно и его половина - прямоуголный 3-уг) имеет наибольшую плошадь при равенстве сторон , т.е. квадрат. Это если мы это знаем. Тогда катеты его равны между собой и равны ( по т. Пифагора, по синусу-косинусу, разное можно предложить )
например 
2) если мы этого не знаем, тогда пусть одна сторона будет х, тогда другая будет   берем производную, приравниваем к 0 (находлим экстремум).  В результате находим Х, который равен тому, что в 1)      другая сторона такая же (тоже ее находим по т. Пифагора))