Укажите на рисунке углы, образованные при пересечении
двух прямых третьей прямой. Назовите их.

Основное соотношение.Чтобы найти координаты вектора AB, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.



Формулы определения координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки

Формула определения координат вектора для плоских задач

В случае плоской задачи вектор AB заданный координатами точек A(Ax ; Ay) и B(Bx ; By) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {Bx - Ax ; By - Ay}

Формула определения координат вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи вектор AB заданный координатами точек A(Ax ; Ay ; Az) и B(Bx ; By ; Bz) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {Bx - Ax ; By - Ay ; Bz - Az}

Формула определения координат вектора для n -мерного пространства

В случае n-мерного пространства вектор AB заданный координатами точек A(A1 ; A2 ; ... ; An) и B(B1 ; B2 ; ... ; Bn) можно найти воспользовавшись следующей формулой

AB = {B1 - A1 ; B2 - A2 ; ... ; Bn - An}

Примеры задач связанных с определением координат вектора по двум точкам

Примеры для плоских задач

Пример 1. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4), B(3; 1).

Решение: AB = {3 - 1; 1 - 4} = {2; -3}.

Пример 2. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1}, если координаты точки A(3; -4).

ABx = Bx - Ax   =>   Bx = ABx + Ax   =>   Bx = 5 + 3 = 8

ABy = By - Ay   =>   By = ABy + Ay   =>   By = 1 + (-4) = -3

ответ: B(8; -3).

Пример 3. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1}, если координаты точки B(3; -4).

ABx = Bx - Ax   =>   Ax = Bx - ABx   =>   Ax = 3 - 5 = -2

ABy = By - Ay   =>   Ay = By - ABy   =>   Ay = -4 - 1 = -5

ответ: A(-2; -5).

Примеры для пространственных задач

Пример 4. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5), B(3; 1; 1).

Решение: AB = {3 - 1; 1 - 4; 1 - 5} = {2; -3; -4}.

Пример 5. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2}, если координаты точки A(3; -4; 3).

ABx = Bx - Ax   =>   Bx = ABx + Ax   =>   Bx = 5 + 3 = 8

ABy = By - Ay   =>   By = ABy + Ay   =>   By = 1 + (-4) = -3

ABz = Bz - Az   =>   Bz = ABz + Az   =>   Bz = 2 + 3 = 5

ответ: B(8; -3; 5).

Пример 6. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4}, если координаты точки B(3; -4; 1).

ABx = Bx - Ax   =>   Ax = Bx - ABx   =>   Ax = 3 - 5 = -2

ABy = By - Ay   =>   Ay = By - ABy   =>   Ay = -4 - 1 = -5

ABz = Bz - Az   =>   Az = Bz - ABz   =>   Az = 1 - 4 = -3

ответ: A(-2; -5; -3).

Примеры для n -мерного пространства

Пример 7. Найти координаты вектора AB, если A(1; 4; 5; 5; -3), B(3; 0; 1; -2; 5).

Решение: AB = {3 - 1; 0 - 4; 1 - 5; -2 - 5; 5 - (-3)} = {2; -4; -4; -7; 8}.

Пример 8. Найти координаты точки B вектора AB = {5; 1; 2; 1}, если координаты точки A(3; -4; 3; 2).

AB1 = B1 - A1   =>   B1 = AB1 + A1   =>   B1 = 5 + 3 = 8

AB2 = B2 - A2   =>   B2 = AB2 + A2   =>   B2 = 1 + (-4) = -3

AB3 = B3 - A3   =>   B3 = AB3 + A3   =>   B3 = 2 + 3 = 5

AB4 = B4 - A4   =>   B4 = AB4 + A4   =>   B4 = 1 + 2 = 3

ответ: B(8; -3; 5; 3).

Пример 9. Найти координаты точки A вектора AB = {5; 1; 4; 5}, если координаты точки B(3; -4; 1; 8).

AB1 = B1 - A1   =>   A1 = B1 - AB1   =>   A1 = 3 - 5 = -2

AB2 = B2 - A2   =>   A2 = B2 - AB2   =>   A2 = -4 - 1 = -5

AB3 = B3 - A3   =>   A3 = B3 - AB3   =>   A3 = 1 - 4 = -3

AB4 = B4 - A4   =>   A4 = B4 - AB4   =>   A4 = 8 - 5 = 3

ответ: A(-2; -5; -3; 3).

Объяснение:

100%

Ромб.

∠DAB = 60˚.

AB = 10 см

АС, BD - ?

Обозначим пересечение диагоналей ромба в точке О.

"Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны".

⇒АВ = BC = DC = AD = 10 см

Так как ромб - параллелограмм, вспомним свойства параллелограмма:

"У параллелограмма противоположные углы равны".

⇒∠DAB = ∠DCB = 60˚; ∠ABC = ∠ADC.

"Сумма углов четырёхугольника равна 360°".

⇒∠АВС = ∠ADC = 360˚ - (60˚ + 60˚) = 240˚/2 = 120˚

"Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам".

          △DAO, △ВАО, △ВСО, △DCO - прямоугольные.

⇒

          ∠DAO = ∠BAO = 60˚/2 = 30˚

          ∠DCO = ∠BCO = 60˚/2 = 30˚

          ∠ADO = ∠CDO = 120˚/2 = 60˚

          ∠ABO = ∠CBO = 120˚/2 = 60˚

Рассмотрим △DAO, △ВАО, △ВСО, △DCO:

AB = BC = DC = AD = 10 см, по свойству ромба.

∠DAO = ∠BAO = ∠DCO = ∠BCO = 30˚, по свойству диагоналей ромба. (и по свойству самого ромба)

ИЛИ:

∠ADO = ∠CDO = ∠ABO = ∠CBO = 60˚, по свойству диагоналей ромба. (и по свойству самого ромба)

⇒△ADO = △BAO = △BCO = △DCO, по гипотенузе и острому углу.

Рассмотрим △ВАО:

∠ВАО = 30°

АВ = 10 см

"Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы".

⇒ОВ = 10/2 = 5 см

Так как △DAO = △BAO ⇒ DO = 5 см

DB = 10 см.

Так как АВ = AD = DB = 10 см => △DAB - равносторонний.

⇒△DCB - равносторонний, так как DB = BC = DC = 10 см

⇒△DCB = △DAB. (⇒АО = ОС)

Найдём АО и ОС, по теореме Пифагора: (с² = а² + b², где с - гипотенуза; a, b - катеты)

а = √(c² - b²) = √(10² - 5²) = √(100 - 25) = √75 = 5√3 см

Итак, АО = ОС = 5√3 см => АС = 5√3 + 5√3 = 10√3 см