Урівнобедрений прямокутний трикутник, катет якого дорівнює 20 см, вписано прямокутник, який має з трикутником спільний прямий кут, а вершина протилежного кута належить гіпотенузі. знайдіть p прямокутника.
V=S(осн)*h/3 в основании квадрат-необходимо найти сторону основания, и высоту пирамиды На чертеже диагональное сечение-ΔBDS, по условию он прямоугольный(<S=90) и равнобедренный(потому что пирамида правильная) Его S=12=a^2/2(a-боковое ребро пирамиды), значит а=√24=2√6 DB-гипотенуза прямоугольного треугольника со стороной а, поэтому DB^2=2a^2=2*24=48; DB=4√3 DB-диагональ квадрата в основании, поэтому сторона основания AB=DB/√2=4√3/√2=2√6 S(осн)=AB^2=(2√6)^2=24 Из ΔDSO найду h, h^2=a^2-(DB/2)^2=24-(2√3)^2=24-12=12 h=√12=2√3 V=24*2√3/3=16√3
полупериметр
p(ACS) = 1/2(6+6+4) = 8
площадь по формуле Герона
S(ACS) = √(8*2*2*4) = 8√2
высота через площадь
1/2*6*AW = 8√2
AW = 8/3√2
SW = √(6² - (8/3√2)²) = √(36 - 64/9*2) = √(196/9) = 14/3
--
полупериметр
p(BCS) = 1/2(6+6+3) = 7,5
площадь по формуле Герона
S(ACS) = √(7,5*1,5*1,5*4,5) = √(15*3*3*9/2⁴)= 9/4√15
высота через площадь
1/2*6*BR = 9/4√15
BR = 3/4√15
SR = √(6² - (3/4√15)²) = √(36 - 9/16*15) = √(441/16) = 21/4
подобие
QW/BR = SW/SR
QW/(3/4√15) = (14/3)/(21/4)
QW = 2√(5/3)
---
полупериметр
p(ABS) = 1/2(6+6+2) = 7
площадь по формуле Герона
S(ACS) = √(7*1*1*5) = √35
высота через площадь
1/2*6*AQ = √35
AQ = 1/3√35
---------------------------
Все стороны треугольника AQW у нас есть, можно вычислить плоский угол двугранного угла ребра SC
По теореме косинусов
AQ² = AW² + QW² - 2*AQ*QW*cos(QWA)
35/9 = (8/3√2)² + (2√(5/3))² - 2*8/3√2*2√(5/3)*cos(QWA)
35/9 = 64/9*2 + 4*5/3 - 32/3√(10/3)*cos(QWA)
35/9 = 128/9 + 60/9 - 32/3√(10/3)*cos(QWA)
153/9 = 32/3√(10/3)*cos(QWA)
153/√3 = 32√10*cos(QWA)
153/(32√30) = cos(QWA)
cos(QWA) = 51/32*√(3/10)
∠QWA = arccos(51/32*√(3/10)) ≈ 29,2°
в основании квадрат-необходимо найти сторону основания, и высоту пирамиды
На чертеже диагональное сечение-ΔBDS, по условию он прямоугольный(<S=90) и равнобедренный(потому что пирамида правильная)
Его S=12=a^2/2(a-боковое ребро пирамиды), значит а=√24=2√6
DB-гипотенуза прямоугольного треугольника со стороной а, поэтому
DB^2=2a^2=2*24=48; DB=4√3
DB-диагональ квадрата в основании, поэтому сторона основания AB=DB/√2=4√3/√2=2√6
S(осн)=AB^2=(2√6)^2=24
Из ΔDSO найду h, h^2=a^2-(DB/2)^2=24-(2√3)^2=24-12=12
h=√12=2√3
V=24*2√3/3=16√3