Урівнобедреному трикутнику abc основа ac дорівнює 18. через точку о - середину висоти bd - проведено промені ао і со, які перетинають бічні сторони в точках м і к. знайти довжину відрізка мк.
* * *
в равнобедренном треугольнике abc основание ac равна 18. через точку о - середину высоты bd - проведено лучи ао и со, которые пересекают боковые стороны в точках м и к. найти длину отрезка мк.

ответ: 6 (ед. длины)

Объяснение:

  Проведем DE║AM.  В треугольнике АМС отрезки АD=DC ( т.к. ВD медиана ∆ АВС и делит АС пополам). DE параллельна АМ и является средней линией ∆ АМС.⇒ СЕ=ЕМ.

В ∆ ВDE отрезок ОМ  - средняя линия ( ВО=ОD, и ОМ║DE). ⇒ ВМ=МЕ=ЕС.  

Аналогично, проведя из D параллельно СК прямую DH доказывается равенство ВК=КН=НА. ⇒ Так как ∆ АВС равнобедренный,  ВК=ВМ. Треугольник КВМ подобен ∆ АВС по пропорциональным сторонам и углу между ними. Коэффициент подобия k=ВМ:ВС=1/3, откуда КМ=АС:3=18:3=6 (ед. длины).

ΔАВС - равнобедренный, BD - высота, медиана, биссектриса ⇒ AD = DC = 18/2 = 9 Продолжим прямую АМ до пересечения с прямой BU, параллельной прямой АС ⇒ ΔАОD = ΔBOU по катету и острому углу (ВО = OD - по условию, ∠AOD = ∠BOU - как вертикальные углы) ⇒ AD = BU = 9ΔВМU подобен ΔАМС по двум углам (∠UAC = ∠BUA - как накрест лежащие углы при BU || AC и секущей АU ; ∠BMU = ∠AMC - как вертикальные углы)AM/MU = BM/MC = BU/AC = 9/18 = 1/2 Аналогично доказывается, что ВК/КА = 1/2, продлив прямую КС до пересечения с прямой BU

ИЛИ по теореме Менелая для ΔВСD и секущей АМ ⇒ CM/MB • BO/OD • AD/AC = 1 ;  CM/MB • 1 • (9/18) = 1 ⇒ CM/MB = 2

Аналогично для ΔABD и секущей КС ⇒ AK/KB = 2

Значит, BK/KA = BM/MC = 1/2 ⇒ ΔКВМ подобен ΔАВС по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними: МК || АСВК/АВ = ВМ/ВСМ= МК/АС ;   ВМ/ВС = МК/АС1/3 = КМ/18  ⇒  КМ = 18/3 = 6 ОТВЕТ: 6