Уромбі abcd ab=8 см, ∠bad=45°. з вершини в до площини ромба проведено перпендикуляр вк. площина akd утворює з площиною ромба кут 60°. знайдіть: 1) відстань від точки к до площини ромба; 2) площу трикутника akd. будь ласка і!

∠ВСА = ∠ВАС = 30°, так как треугольник равнобедренный,
тогда ∠АВС = 180° - 2·30° = 120°

Проведем ВК - высоту и медиану.
Обозначим ЕС = х, АК = КВ = у. Тогда АВ = х + 8.

По свойству биссектрисы:
ВЕ : ЕС = АВ :АС
8 : x = (x + 8) : (2y)
16y = x(x + 8)
y = x(x + 8)/16

Из прямоугольного треугольника ВКС по определению косинуса:
y = BC·cos∠BCK
y = (x + 8)·√3/2

Из двух уравнений получаем:
x(x + 8)/16 = (x + 8)·√3/2
x/16 = √3/2
x = 8√3

AB = BC = 8 + 8√3 (см)

Sabc = 1/2 · AB · BC · sin120°
Sabc = 1/2 · (8 + 8√3)²·√3/2 = 16√3(√3 + 1)² = 16√3(4 + 2√3) = 32√3(2 + √3) (см²)

858.1) Доказать, что четырёхугольник АВСД - квадрат, если:
А(1; 2), В(4; 5), С(7; 2), Д(4; -1).

Четырёхугольник АВСД - квадрат в том случае, если его стороны равны и диагонали равны.
Находим длины сторон:
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √18 ≈ 4,242640687, 
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √18 ≈ 4.242640687, 
СД = √((Хд-Хс)²+(Уд-Ус)²) = √18 ≈ 4.242640687, 
АД = √((Хд-Ха)²+(Уд-Уа)²) = √18 ≈ 4.242640687.

Находим длины диагоналей:
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √36 = 6,
ВД = √((Хд-Хв)²+(Уд-Ув)²) = √36 = 6.

Доказано, условия подтверждены.

861.2) Найти угол А треугольника АВС если:
А(1; 2), В(-1; 3), С(3; 2).
Находим длины сторон
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √5 ≈ 2.236067977, 
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √17 ≈ 4.123105626, 
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √4 = 2.

Определяем косинус угла А:
cos A= (АВ²+АС²-ВС²)/(2*АВ*АС)  = -0.894427.
Этому косинусу соответствует угол  2,677945 радиан или 153,4349 градусов.