Уровень А 33. а) Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Высота
призмы равна 24 см, а диагональ ее боковой грани равна 26 см. Найдите
радиус основания цилиндра.
б) Правильная треугольная призма, все ребра которой равны а, вписа-
на в цилиндр. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
434. Дан конус, в осевое сечение которого вписана окружность. Высота
конуса в 4 раза больше радиуса этой окружности. Найдите площадь
поверхности конуса, если его образующая равна 9 см.
435. В шар радиуса R вписан конус, угол между высотой и образующей
которого равен a. Найдите высоту конуса.
436. Дан тетраэдр, в который можно вписать конус, причем стороны его
основания равны 6,5 см, 7 см, 1,5 см, а образующая конуса наклоне-
на к основанию под углом 60°. Найдите площадь полной поверхности
этого тетраэдра.
В данном случае, диагональ боковой грани равна 26 см, поэтому боковое ребро равно 26 / 2 = 13 см.
Так как треугольная призма - правильная, то высота призмы и радиус основания цилиндра равны.
Высота призмы равна 24 см, поэтому радиус основания цилиндра также равен 24 см.
б) Площадь осевого сечения цилиндра равна площади треугольника, вписанного в этот цилиндр.
Так как все ребра призмы равны a, каждый угол основания треугольной призмы будет равен 60 градусов.
Площадь осевого сечения равна S = (1/2) * a * a * sin(60).
Раскрывая синус 60 градусов, получим S = (1/2) * a * a * (√3 / 2).
Упрощая, получим S = (a^2 * √3) / 4.
Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра равна (a^2 * √3) / 4.
434. Дан конус, в осевое сечение которого вписана окружность. Высота конуса в 4 раза больше радиуса этой окружности. Найдите площадь поверхности конуса, если его образующая равна 9 см.
Пусть радиус окружности, вписанной в осевое сечение конуса, равен r.
Тогда высота конуса будет равна 4r.
Так как образующая конуса равна 9 см, а радиус основания равен r, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты конуса.
Образующая конуса в квадрате равна сумме квадратов радиуса основания и высоты конуса:
9^2 = r^2 + (4r)^2
Упрощая выражение, получим:
81 = r^2 + 16r^2
17r^2 = 81
r^2 = 81 / 17
r ≈ 3.009
Теперь мы можем найти площадь поверхности конуса с помощью формулы:
S = π * r * (r + l),
где l - образующая конуса.
Вставляем значения и решаем:
S = 3.14159 * 3.009 * (3.009 + 9)
S ≈ 3.14159 * 3.009 * 12.009
S ≈ 339.18344
Таким образом, площадь поверхности конуса примерно равна 339.18 квадратных сантиметров.
435. В шар радиуса R вписан конус, угол между высотой и образующей которого равен a. Найдите высоту конуса.
Для решения этой задачи мы можем использовать свойства вписанного конуса в шар.
Образующая конуса является радиусом шара, поэтому она равна R.
Также известно, что угол между высотой и образующей конуса равен a.
Мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения высоты конуса.
Тангенс угла a равен отношению высоты к радиусу основания конуса:
tan(a) = h / R
Раскрываем тангенс:
h = tan(a) * R
Таким образом, высота конуса равна произведению тангенса угла a на радиус шара.
436. Дан тетраэдр, в который можно вписать конус, причем стороны его основания равны 6.5 см, 7 см, 1.5 см, а образующая конуса наклонена к основанию под углом 60°. Найдите площадь полной поверхности этого тетраэдра.
Для решения этой задачи мы можем использовать свойства вписанного конуса в тетраэдр.
В данном случае, образующая конуса является высотой тетраэдра.
Для вычисления площади полной поверхности тетраэдра, нам необходимо найти площади всех его граней и сложить их.
1. Найдем площадь основания тетраэдра. Площадь треугольника вычисляется по формуле Герона:
S_1 = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где p - полупериметр треугольника, a, b, c - его стороны.
p = (a + b + c) / 2
p = (6.5 + 7 + 1.5) / 2 = 7.5
S_1 = √(7.5 * (7.5 - 6.5) * (7.5 - 7) * (7.5 - 1.5)) = √(7.5 * 1 * 0.5 * 6) = √(22.5) ≈ 4.743
2. Найдем площадь грани, на которую будет проецироваться основание конуса.
Эта грань является равносторонним треугольником со стороной, равной радиусу основания конуса.
Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле S = a^2 * (√3 / 4), где a - длина стороны треугольника.
S_2 = 6.5^2 * (√3 / 4) ≈ 21.218
3. Площадь грани, на которую будет проецироваться боковая грань конуса.
Для этого высота тетраэдра, которая равна образующей конуса, нужна нам для вычисления площади боковой грани конуса.
h = 7.5 * sin(60) = 7.5 * (√3 / 2) = 3.75 * √3 ≈ 6.499
Так как площадь боковой грани конуса равна π * R * l, где R - радиус основания конуса, l - образующая конуса, то:
S_3 = π * 6.5 * 7.5 ≈ 152.742
4. Найдем площадь последней грани тетраэдра.
Она является равносторонним треугольником со стороной, равной основанию конуса.
S_4 = 1.5^2 * (√3 / 4) ≈ 1.297
Теперь мы можем сложить все найденные площади, чтобы получить площадь полной поверхности тетраэдра:
S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 ≈ 4.743 + 21.218 + 152.742 + 1.297 ≈ 180 квадратных сантиметров.
Таким образом, площадь полной поверхности этого тетраэдра примерно равна 180 квадратных сантиметров.