Уровень А 33. а) Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Высота
призмы равна 24 см, а диагональ ее боковой грани равна 26 см. Найдите
радиус основания цилиндра.
б) Правильная треугольная призма, все ребра которой равны а, вписа-
на в цилиндр. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
434. Дан конус, в осевое сечение которого вписана окружность. Высота
конуса в 4 раза больше радиуса этой окружности. Найдите площадь
поверхности конуса, если его образующая равна 9 см.
435. В шар радиуса R вписан конус, угол между высотой и образующей
которого равен a. Найдите высоту конуса.
436. Дан тетраэдр, в который можно вписать конус, причем стороны его
основания равны 6,5 см, 7 см, 1,5 см, а образующая конуса наклоне-
на к основанию под углом 60°. Найдите площадь полной поверхности
этого тетраэдра.
Если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Дано:
∠COD,A1B1 ∥ A2B2 ∥ A3B3,A1, A2, A3 ∈OC, B1, B2, B3 ∈OD,A1A2=A2A3.
Доказать:
B1B2=B2B3.
Доказательство:
1) Через точку B2 проведем прямую EF, EF ∥ A1A3.
2) Рассмотрим четырехугольник A1FB2A2.- A1F ∥ A2B2 (по условию),- A1A2 ∥ FB2 (по построению).Следовательно, A1FB2A2 — параллелограмм. По св-ву противолежащих сторон параллелограмма, A1A2=FB2.
3)Аналогично доказываем, что A2B2EA3 — параллелограмм и A2A3=B2E.
4) Так как A1A2=A2A3 (по условию), то FB2=B2E.
5) Рассмотрим треугольники B2B1F и B2B3E.- FB2=B2E (по доказанному),- ∠B1B2F=∠B2EB3 =∠B2FB1=∠B2EB3.
Следовательно, треугольники B2B1F и B2B3E равны.Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: B1B2=B2B3.
Теорема доказана. :)
В треугольнике ЕНС сторона ЕС=а√2/2, сторона НС=а/2, а сторону ЕН найдем по теореме косинусов:
ЕН²=ЕС²+НС²-2*ЕС*НС*CosC. CosC=Cos135°=Cos(180-45°)=-Cos45°=√2/2.
Итак, ЕH²=a²/2+a²/4+2*(а√2/2)*(а/2)*√2/2 = 5a²/4. ЕН=а√5/2.
В прямоугольном треугольнике EFH гипотенуза EF - искомый отрезок. Найдем его по Пифагору: EF=√(EH²+HF²). HF - это средняя линия треугольника ВМС и равна а/2.
Тогда EF=√(5a²/4+a²/4)=√(6a²/4) = а*(√6/2).
ответ: EF=а√6/2.